Uma pessoa adquiriu um imóvel pelo valor de R$ 500.000,00 e pagou 20% desse valor no ato da compra. O restante da dívida, deverá ser quitado por meio de 80 prestações mensais e consecutivas com a primeira prestação vencendo 1 mês após a data da compra. Sabendo que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa mensal de juros i e que o valor da 10ª prestação é igual a R$ 10.325,00, o valor da 20ª prestação, em reais, é igual a
A9.500,00
B9.600,00
C9.750,00
D9.675,00
E9.575,00
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GabaritoE — 9.575,00
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 9.575,00 (alternativa E).
A ideia por trás
O Sistema de Amortização Constante (SAC) é um método de pagamento de financiamentos em que o valor amortizado do principal é o mesmo em todas as parcelas. Isso significa que, a cada mês, você paga uma parte fixa da dívida (a amortização) mais os juros sobre o saldo que ainda deve. Como o saldo devedor diminui com o tempo, os juros também diminuem, fazendo com que o valor total da prestação caia mês a mês. A unidade de medida é o real (R$), e a taxa de juros é mensal.
A relação central do SAC é que as prestações formam uma progressão aritmética (PA) decrescente. A razão dessa PA é r = -i × A, onde i é a taxa de juros mensal e A é a amortização constante. Isso acontece porque, a cada período, os juros diminuem exatamente pelo valor de i vezes a amortização. Se a taxa de juros aumenta, a razão fica mais negativa e as prestações caem mais rápido; se a amortização é maior, o mesmo efeito ocorre. Essa propriedade permite calcular qualquer prestação a partir de outra, sem montar a tabela inteira.
Nesta questão, conhecemos a 10ª prestação e precisamos da 20ª. A diferença entre elas é de 10 períodos, então podemos usar a razão da PA para encontrar a 20ª. Para isso, precisamos primeiro descobrir a taxa de juros, usando a fórmula da prestação em função do saldo devedor.
O que a questão dá
valor do imóvel = R$ 500.000,00
entrada = 20% do valor
número de prestações = 80
primeira prestação vence 1 mês após a compra
10ª prestação = R$ 10.325,00
O que queremos: o valor da 20ª prestação
Passo 1 — Calcular o valor financiado
O imóvel tem entrada de 20%, então o financiamento é o valor restante. Precisamos desse valor para calcular a amortização constante.
Por que esta fórmula: O valor financiado é o preço total menos a entrada. A entrada é uma porcentagem do preço.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 500.000,00 · = enunciado: 20% = 0,20
= R$ 400.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de converter 20% para 0,20 e usar 20, o que daria um valor negativo.
Passo 2 — Calcular a amortização constante
No SAC, a amortização é sempre a mesma, então precisamos dela para achar os juros e a razão da PA.
Por que esta fórmula: A amortização é o valor financiado dividido pelo número de prestações, pois cada parcela paga uma parte igual do principal.
De onde vem cada valor: = passo 1: R$ 400.000,00 · = enunciado: 80 prestações
= R$ 5.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Dividir o valor total do imóvel (500.000) por 80, ignorando a entrada.
Passo 3 — Calcular o saldo devedor após 9 prestações
A 10ª prestação é composta pela amortização mais os juros sobre o saldo devedor do mês anterior. Para achar os juros, precisamos do saldo devedor após 9 prestações.
Por que esta fórmula: O saldo devedor após k prestações é o valor financiado menos k vezes a amortização, pois cada prestação reduz o saldo em A.
De onde vem cada valor: = passo 1: R$ 400.000,00 · = enunciado: 9 (pois a 10ª prestação usa o saldo após 9 pagamentos) · = passo 2: R$ 5.000,00
= R$ 355.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar k=10 em vez de 9, pois os juros da 10ª prestação incidem sobre o saldo do início do mês, que é após 9 amortizações.
Passo 4 — Calcular a taxa de juros mensal
A taxa de juros é necessária para achar a razão da PA e, assim, a 20ª prestação. Usamos a fórmula da prestação: P = A + i × SD.
Por que esta fórmula: A prestação no SAC é a soma da amortização com os juros do período. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do mês.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 10.325,00 · = passo 2: R$ 5.000,00 · = passo 3: R$ 355.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Isolar i incorretamente, subtraindo 5000 de 10325 e dividindo por 355000, mas esquecer de converter para porcentagem.
Passo 5 — Calcular a razão da progressão aritmética
No SAC, as prestações formam uma PA decrescente. A razão é o quanto cada prestação diminui em relação à anterior, e é igual a -i × A.
Por que esta fórmula: A cada mês, os juros diminuem porque o saldo devedor cai em A. A redução dos juros é i × A, então a prestação também cai nesse valor.
De onde vem cada valor: = passo 4: 0,015 · = passo 2: R$ 5.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar r = -i × SD em vez de -i × A, o que daria um valor muito maior.
Passo 6 — Calcular a 20ª prestação
Com a razão da PA, podemos avançar da 10ª para a 20ª prestação, que está 10 períodos à frente.
Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é P_n = P_m + (n-m) × r. Aqui, n=20 e m=10, então a diferença é 10.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 10.325,00 · = passo 5: -75
= R$ 9.575,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar 9 intervalos em vez de 10, pois entre a 10ª e a 20ª prestação há 10 passos.