Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc061170

Problema de divisão de complementação orçamentária

Gabarito: letra A (R$ 5.400,00). O problema envolve duas equações com duas incógnitas: o valor da complementação ( $V$ ) e o número de colaboradores ( $n$ ). Da primeira condição, $V = 250n - 100$ ; da segunda, $V + 3000 = 350(n + 2)$ . Resolvendo o sistema, obtemos $n = 22$ e $V = 5.400$ .

Vamos montar o sistema. Seja $V$ o valor da complementação inicial e $n$ o número de colaboradores que receberiam o auxílio.

Primeira condição: se a cota de cada um for R$ 250,00, faltará R$ 100,00. Isso significa que o valor total necessário ( $250n$ ) é R$ 100,00 maior que a complementação disponível:

250n = V + 100 \Rightarrow V = 250n - 100

Segunda condição: se a complementação fosse acrescida de R$ 3.000,00, a cota poderia ser de R$ 350,00 e mais dois colaboradores poderiam receber o auxílio. Ou seja, com o valor $V + 3000$ , dividido entre $n + 2$ colaboradores, cada um receberia R$ 350,00:

V + 3000 = 350(n + 2)

Substituindo a primeira equação na segunda:

250n - 100 + 3000 = 350(n + 2)

250n + 2900 = 350n + 700

2900 - 700 = 350n - 250n

2200 = 100n

n = 22

Agora, substituindo $n = 22$ na primeira equação:

V = 250 \times 22 - 100 = 5500 - 100 = 5400

Portanto, o valor da complementação inicial é R$ 5.400,00.

Caso	Atribuição (V, n)	Resultado
A (R$ 5.400,00)	V = 5400, n = 22	Consistente (5400 = 250·22 − 100; 5400 + 3000 = 350·(22+2))
B (R$ 3.900,00)	V = 3900, n = 16	Contradição (3900 + 3000 = 6900 ≠ 350·18 = 6300)
C (R$ 4.300,00)	V = 4300, n = 17,6	Inviável (n não é inteiro)
D (R$ 5.800,00)	V = 5800, n = 23,6	Inviável (n não é inteiro)
E (R$ 4.400,00)	V = 4400, n = 18	Contradição (4400 + 3000 = 7400 ≠ 350·20 = 7000)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o sistema de equações resulta em $n = 22$ colaboradores e V = R\ 5.400,00$. A alternativa espelha exatamente o valor encontrado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 3.900,00 não satisfaz as condições. Se $V = 3900$ , da primeira equação teríamos $250n = 4000 \Rightarrow n = 16$ . Testando na segunda: $3900 + 3000 = 6900$ e $350 \times (16 + 2) = 350 \times 18 = 6300$ , que não é igual a 6900. O valor de R$ 3.900,00 não corresponde a nenhum resultado intermediário relevante do problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 4.300,00 também não satisfaz. Se $V = 4300$ , então $250n = 4400 \Rightarrow n = 17,6$ , que não é um número inteiro de colaboradores — o que já invalida a alternativa, pois o número de colaboradores deve ser inteiro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 5.800,00 não satisfaz. Se $V = 5800$ , então $250n = 5900 \Rightarrow n = 23,6$ , novamente um número não inteiro de colaboradores, o que torna a alternativa inválida.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 4.400,00 não satisfaz. Se $V = 4400$ , então $250n = 4500 \Rightarrow n = 18$ . Testando na segunda: $4400 + 3000 = 7400$ e $350 \times (18 + 2) = 350 \times 20 = 7000$ , que não é igual a 7400. Portanto, a alternativa está incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a dificuldade de montar corretamente as equações. O erro mais comum é inverter os sinais: interpretar "faltará R$ 100,00" como $V = 250n + 100$ em vez de $V = 250n - 100$ . Outro erro frequente é esquecer de somar 2 ao número de colaboradores na segunda condição, usando $n$ em vez de $n + 2$ . Com atenção a esses dois detalhes, o sistema sai direto.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas com duas condições, monte sempre um sistema de equações. Identifique as incógnitas (valor total e número de pessoas), traduza cada frase em uma equação e resolva por substituição. Confira se o número de pessoas encontrado é inteiro — isso ajuda a eliminar alternativas rapidamente.

Gabarito: letra A