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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FCC 2022

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fc061171
Banca
FCC
Órgão
DETRAN-AP
Ano
2022
Cargo
Assistente Administrativo de Trânsito
A soma A + B + C dos números A, B e C tais que os produtos A × B = 24, B × C = 72 e A × C = 48, é:
  1. A22
  2. B32
  3. C45
  4. D12
  5. E30
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GabaritoA — 22

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A + B + C = 22, alternativa A.

A ideia por trás

Este problema envolve um sistema de equações não lineares onde cada equação é o produto de duas incógnitas. A ideia central é que, ao multiplicar todas as equações, obtemos o quadrado do produto das três incógnitas, pois cada incógnita aparece duas vezes. Isso nos permite encontrar o produto triplo e, em seguida, dividir por cada equação original para isolar cada incógnita. A soma final é obtida somando os valores individuais.

O que a questão dá

  • A × B = 24

  • B × C = 72

  • A × C = 48

O que queremos: a soma A + B + C

Passo 1 — Multiplicar as três equações

Para eliminar as incógnitas individualmente e obter uma relação apenas com o produto A×B×C. Multiplicar as equações é a estratégia clássica para sistemas com produtos entre pares.

Por que esta fórmula: Multiplicamos as três equações porque cada incógnita aparece em duas delas, então o produto terá cada incógnita ao quadrado, resultando em (A×B×C)².

(A×B)×(B×C)×(A×C)=24×72×48(A \times B) \times (B \times C) \times (A \times C) = 24 \times 72 \times 48

De onde vem cada valor: A×BA \times B = enunciado: 24 · B×CB \times C = enunciado: 72 · A×CA \times C = enunciado: 48

(A×B)×(B×C)×(A×C)=24×72×48(A \times B) \times (B \times C) \times (A \times C) = 24 \times 72 \times 48
A2×B2×C2=82944A^{2} \times B^{2} \times C^{2} = \boxed{82944}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar todos os fatores, ou somar em vez de multiplicar.

Passo 2 — Extrair a raiz quadrada

Temos (A×B×C)² = 82944, então precisamos tirar a raiz quadrada para obter o valor de A×B×C. Como os números são positivos, consideramos apenas a raiz positiva.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potenciação ao quadrado, então aplicamos para isolar A×B×C.

A×B×C=82944A \times B \times C = \sqrt{82944}

De onde vem cada valor: 8294482944 = passo 1: resultado da multiplicação

A×B×C=82944=288A \times B \times C = \sqrt{82944} = \boxed{288}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções, mas aqui só a positiva faz sentido.

Passo 3 — Calcular A dividindo o produto triplo

Com o produto triplo em mãos, podemos isolar cada incógnita dividindo pelo produto das outras duas. Para A, dividimos por B×C.

Por que esta fórmula: Da equação A×B×C = 288, isolamos A dividindo ambos os lados por B×C.

A=288B×CA = \frac{288}{B \times C}

De onde vem cada valor: 288288 = passo 2 · B×CB \times C = enunciado: 72

A=28872=4A = \frac{288}{72} = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir pelo produto errado, por exemplo, usar A×B em vez de B×C.

Passo 4 — Calcular B dividindo o produto triplo

Analogamente, para B dividimos por A×C.

Por que esta fórmula: Isolamos B na equação A×B×C = 288 dividindo por A×C.

B=288A×CB = \frac{288}{A \times C}

De onde vem cada valor: 288288 = passo 2 · A×CA \times C = enunciado: 48

B=28848=6B = \frac{288}{48} = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os produtos na divisão.

Passo 5 — Calcular C dividindo o produto triplo

Para C dividimos por A×B.

Por que esta fórmula: Isolamos C na equação A×B×C = 288 dividindo por A×B.

C=288A×BC = \frac{288}{A \times B}

De onde vem cada valor: 288288 = passo 2 · A×BA \times B = enunciado: 24

C=28824=12C = \frac{288}{24} = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o produto errado na divisão.

Passo 6 — Somar os valores encontrados

A questão pede a soma A+B+C, então agora que temos os valores individuais, basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é a operação direta pedida.

A+B+C=4+6+12A + B + C = 4 + 6 + 12

De onde vem cada valor: 44 = passo 3 · 66 = passo 4 · 1212 = passo 5

A+B+C=4+6+12=22A + B + C = 4 + 6 + 12 = \boxed{22}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma simples, ou esquecer de somar um dos valores.

Resposta: A + B + C = 22, alternativa A

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