Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FCC 2022

Análise Combinatória: contagem com restrições

Gabarito: letra E (2 sequências). A questão exige combinar as informações das duas tentativas para restringir as possíveis sequências de Maria. A primeira tentativa (Azul, Marrom, Marrom) indica que duas cores estão corretas, mas em posições erradas; a segunda (Marrom, Verde, Verde) indica que duas cores estão corretas e em posições certas. A análise sistemática das posições revela que apenas duas sequências satisfazem ambas as condições.

O problema é um clássico de raciocínio combinatório com restrições, onde o princípio fundamental da contagem é aplicado de forma indireta: em vez de contar diretamente, usamos as pistas para eliminar possibilidades. A chave é entender que cada tentativa fornece duas informações independentes: quantas cores estão certas na posição certa e quantas estão certas na posição errada. Vamos analisar cada tentativa em detalhes.

Primeira tentativa: (Azul, Marrom, Marrom) — Maria disse que duas cores estão certas, mas na posição errada. Isso significa que, na sequência real, exatamente duas das cores Azul, Marrom, Marrom aparecem, mas nenhuma delas está na posição em que Antônio as colocou. Vamos denotar as posições como 1, 2 e 3. A tentativa de Antônio é A(1), M(2), M(3). A informação diz que, na sequência real, a cor da posição 1 não é Azul, a cor da posição 2 não é Marrom, e a cor da posição 3 não é Marrom. Além disso, exatamente duas das cores {Azul, Marrom, Marrom} estão presentes na sequência real.

Segunda tentativa: (Marrom, Verde, Verde) — Maria disse que duas cores estão certas e na posição certa. Isso significa que, na sequência real, exatamente duas das posições têm as cores Marrom, Verde, Verde, respectivamente, e a terceira posição tem uma cor diferente da indicada. Vamos analisar as possibilidades para a segunda tentativa:

• Se as posições 1 e 2 estão corretas (Marrom, Verde), então a posição 3 não é Verde. A sequência seria (Marrom, Verde, X), onde X ≠ Verde. Mas a primeira tentativa diz que a posição 2 não é Marrom, o que é satisfeito (é Verde), e a posição 3 não é Marrom, o que é satisfeito (X ≠ Verde, mas X pode ser Marrom? Não, pois a posição 3 não pode ser Marrom). Então X só pode ser Azul. Sequência: (Marrom, Verde, Azul). Verificando a primeira tentativa: cores presentes: Marrom, Verde, Azul. A tentativa tinha Azul, Marrom, Marrom. As cores comuns são Azul e Marrom (duas cores), e ambas estão em posições erradas: Azul está na posição 3 (na tentativa estava na 1), Marrom está na posição 1 (na tentativa estava na 2 e 3). Isso satisfaz a primeira pista. Portanto, (Marrom, Verde, Azul) é uma possibilidade.

• Se as posições 1 e 3 estão corretas (Marrom, Verde), então a posição 2 não é Verde. A sequência seria (Marrom, Y, Verde), onde Y ≠ Verde. A primeira tentativa diz que a posição 2 não é Marrom, então Y pode ser Azul. Sequência: (Marrom, Azul, Verde). Verificando a primeira tentativa: cores presentes: Marrom, Azul, Verde. A tentativa tinha Azul, Marrom, Marrom. As cores comuns são Azul e Marrom (duas cores), e ambas estão em posições erradas: Azul está na posição 2 (na tentativa estava na 1), Marrom está na posição 1 (na tentativa estava na 2 e 3). Isso satisfaz a primeira pista. Portanto, (Marrom, Azul, Verde) é outra possibilidade.

• Se as posições 2 e 3 estão corretas (Verde, Verde), então a posição 1 não é Marrom. A sequência seria (Z, Verde, Verde), onde Z ≠ Marrom. A primeira tentativa diz que a posição 1 não é Azul, então Z só pode ser Marrom? Não, Z ≠ Marrom, e Z ≠ Azul, então Z não pode ser nenhuma das três cores? Isso é impossível, pois as cores disponíveis são apenas Marrom, Verde e Azul. Portanto, essa combinação é inválida.

Assim, temos exatamente duas sequências possíveis: (Marrom, Verde, Azul) e (Marrom, Azul, Verde). Nenhuma outra combinação satisfaz as duas pistas simultaneamente. Portanto, o número de sequências que Maria pode ter escolhido é 2.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há apenas 1 sequência possível. Isso ignora a possibilidade de (Marrom, Azul, Verde), que também satisfaz as condições. A análise detalhada mostra que há duas sequências válidas, não uma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que há 4 sequências possíveis. Esse número é maior do que o conjunto real de possibilidades. A restrição das duas pistas elimina a maioria das 27 combinações possíveis (3 cores × 3 posições), restando apenas 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há 3 sequências possíveis. A terceira combinação que poderia ser considerada, (Z, Verde, Verde) com Z ≠ Marrom, é inválida porque Z não pode ser Azul (pela primeira pista) nem Marrom (pela segunda), restando apenas Verde, mas isso faria a posição 1 ser Verde, o que não é permitido pela segunda pista (posição 1 não é Marrom, mas poderia ser Verde? Sim, mas aí a sequência seria (Verde, Verde, Verde), que não tem duas cores certas na posição certa na segunda tentativa, pois a posição 1 seria Verde, mas a tentativa era Marrom, então não estaria certa). Portanto, não há 3 possibilidades.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que não há sequências possíveis (zero). Isso é falso, pois encontramos duas sequências que satisfazem todas as condições: (Marrom, Verde, Azul) e (Marrom, Azul, Verde).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A análise detalhada mostra que exatamente duas sequências satisfazem as duas pistas: (Marrom, Verde, Azul) e (Marrom, Azul, Verde). Portanto, o número de sequências que Maria pode ter escolhido é 2.

Gabarito: letra E