Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FCC 2022

Razão e Proporção: transferência de rapazes entre grupos

Gabarito: letra E. Para que a proporção de rapazes em relação às moças seja a mesma nos dois grupos, devemos transferir 9 rapazes do grupo A para o grupo B. A resolução parte de igualar as razões $\frac{\text{rapazes}}{\text{moças}}$ dos dois grupos após a transferência de $x$ rapazes, o que gera a equação $\frac{12-x}{6} = \frac{x}{18}$, cuja solução é $x = 9$.

O problema envolve o conceito de razão e proporção: uma razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão, e uma proporção é a igualdade entre duas razões. Aqui, a grandeza comparada é a quantidade de rapazes em relação à quantidade de moças em cada grupo. A condição imposta é que essa razão seja a mesma nos dois grupos após a transferência.

Vamos modelar a situação. Inicialmente, o grupo A tem 12 rapazes e 6 moças, e o grupo B tem 0 rapazes e 18 moças. Se transferirmos $x$ rapazes do grupo A para o grupo B, as novas quantidades serão:

• Grupo A: $12 - x$ rapazes e 6 moças;

• Grupo B: $x$ rapazes e 18 moças.

Para que a proporção de rapazes seja a mesma, a razão rapazes/moças deve ser igual nos dois grupos:

Multiplicando cruzado:

Portanto, devem ir 9 rapazes para o grupo B. Conferindo: no grupo A ficam $12-9=3$ rapazes e 6 moças, razão $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; no grupo B ficam 9 rapazes e 18 moças, razão $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. As razões são iguais, confirmando a resposta.

A pegadinha da banca está em inverter a razão: alguns candidatos montam $\frac{12-x}{x} = \frac{6}{18}$ ou $\frac{6}{12-x} = \frac{18}{x}$, o que leva a um resultado diferente. A chave é manter a mesma ordem de comparação (rapazes sobre moças) nos dois lados da igualdade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

8 não satisfaz a equação. Se $x=8$, a razão no grupo A seria $\frac{12-8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, e no grupo B $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$, que são diferentes. O número 8 é um distrator comum, pois é próximo do valor correto, mas não resolve a proporção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

5 também não resolve. Com $x=5$, grupo A: $\frac{7}{6}$; grupo B: $\frac{5}{18}$. As razões não são iguais. Esse valor não tem relação direta com o problema, servindo apenas como distrator.

Alternativa C — ❌ Incorreta

6 é um distrator que pode surgir de um raciocínio equivocado, como tentar igualar as quantidades de rapazes ou usar a razão inicial $\frac{12}{6}=2$ de forma incorreta. Com $x=6$, grupo A: $\frac{6}{6}=1$; grupo B: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, que não são iguais.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3 é o número de rapazes que permanecem no grupo A após a transferência correta ($12-9=3$), não o número transferido. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que calcula o valor de $x$ corretamente, mas responde o que sobrou no grupo A, marca esta alternativa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

9 é a solução da equação $\frac{12-x}{6} = \frac{x}{18}$, como demonstrado. Após a transferência, as razões ficam iguais a $\frac{1}{2}$ nos dois grupos, atendendo à condição do enunciado.

Gabarito: letra E