Questão de Matemática — Polinômios — FCC 2022

Regra de Descartes: raízes reais positivas de um polinômio

Gabarito: letra B. Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas de um polinômio é igual ao número de variações de sinal dos coeficientes (ou menor que esse número por um inteiro par). No polinômio $p(x) = 5x^{10} + 8x^7 + 4x^6 + 5x^5 + 3x^2 + x - 10$, os coeficientes são $5, 8, 4, 5, 3, 1, -10$: há exatamente 1 variação de sinal (de $+1$ para $-10$). Portanto, $N = 1$.

A Regra de Descartes é um teorema clássico da álgebra que relaciona o número de raízes reais positivas de um polinômio com as mudanças de sinal na sequência de seus coeficientes (considerando os termos em ordem decrescente de grau). Ela afirma que o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal, ou menor que esse número por um inteiro par. Isso significa que, se houver $v$ variações, o número de raízes positivas $N$ satisfaz $N \equiv v \pmod{2}$ e $0 \le N \le v$.

No polinômio dado, os coeficientes (do termo de maior grau para o de menor) são: $5, 8, 4, 5, 3, 1, -10$. Observe que os coeficientes são todos positivos até o termo $+x$, e o último coeficiente é $-10$. A única mudança de sinal ocorre entre $+1$ (coeficiente de $x$) e $-10$ (termo constante). Portanto, $v = 1$. Como o número de raízes positivas deve ser igual a $v$ ou menor por um inteiro par, e $v = 1$ é ímpar, o único valor possível é $N = 1$ (não pode ser $0$, pois $0$ difere de $1$ por um inteiro ímpar).

A pegadinha da banca está em tentar aplicar a regra de forma equivocada, contando variações de sinal em outra ordem ou ignorando os coeficientes nulos (que não existem aqui). Além disso, o candidato pode confundir com o Teorema Fundamental da Álgebra (que garante 10 raízes complexas, contando multiplicidades) e achar que $N = 10$, ou pode achar que não há raízes positivas por não conseguir fatorar o polinômio. A regra de Descartes é uma ferramenta rápida que evita todo esse trabalho.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $N = 0$. Isso contraria a Regra de Descartes: como há 1 variação de sinal, o número de raízes positivas é ímpar, portanto não pode ser zero. O candidato que erra aqui provavelmente não contou a variação de sinal ou confundiu com a análise de raízes negativas (que usaria $p(-x)$).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente o que a Regra de Descartes determina: com 1 variação de sinal, o número de raízes reais positivas é 1. A alternativa espelha o resultado direto da contagem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $N = 2$. Isso seria possível se houvesse 2 variações de sinal, mas há apenas 1. O número de raízes positivas não pode ser 2, pois 2 difere de 1 por um inteiro ímpar (2 − 1 = 1, que não é par).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $N \ge 0$. Embora seja verdade que $N$ é um número não negativo (pois é uma contagem), essa afirmação é genérica demais e não responde à pergunta específica. A questão pede o valor exato de $N$, e a alternativa B fornece esse valor. Além disso, a alternativa D não é uma afirmação falsa em si, mas não é a resposta correta para a pergunta feita.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $N = 10$. Isso confunde o número de raízes positivas com o grau do polinômio (10). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio tem 10 raízes complexas (contando multiplicidades), mas isso não significa que todas sejam reais positivas. A Regra de Descartes limita o número de raízes positivas a 1.

Gabarito: letra B