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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc063137
Banca
FCC
Órgão
SEDU-ES
Ano
2022
Cargo
Professor MaPB Ensino Fundamental e Médio Matemática
Em uma turma de matemática, a média das notas dos aprovados foi 8,4, a média das notas dos reprovados foi 3,6 e a média da turma foi 6,6. A porcentagem de alunos reprovados foi de
  1. A37,5%.
  2. B62,5%.
  3. C25,7%.
  4. D35,7%.
  5. E55,5%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 37,5%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 37,5% (alternativa A).

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto de números: somam-se todos os valores e divide-se pela quantidade deles. Quando temos grupos diferentes, a média geral é a média ponderada, em que cada média de grupo 'pesa' conforme o tamanho do grupo. A porcentagem é uma fração de 100: dizer que 37,5% dos alunos reprovaram significa que, em cada 100 alunos, 37,5 reprovaram. Nesta questão, a média da turma é a média ponderada entre a média dos aprovados e a dos reprovados, com pesos iguais às quantidades de alunos em cada grupo. Precisamos descobrir a fração de reprovados a partir dessa relação.

O que a questão dá

  • média dos aprovados = 8,4

  • média dos reprovados = 3,6

  • média da turma = 6,6

O que queremos: a porcentagem de alunos reprovados

Passo 1 — Montar a equação da média ponderada

A média da turma é a soma de todas as notas dividida pelo total de alunos. Como temos dois grupos com médias diferentes, a média geral é a média ponderada: cada média de grupo multiplicada pela quantidade de alunos daquele grupo, tudo dividido pela soma das quantidades. É essa relação que liga os dados do enunciado à incógnita.

Por que esta fórmula: A média ponderada é a fórmula certa porque os grupos têm tamanhos diferentes; a média simples entre 8,4 e 3,6 (que daria 6,0) só valeria se houvesse o mesmo número de aprovados e reprovados, o que não é garantido.

8,4A+3,6RA+R=6,6\frac{8{,}4A + 3{,}6R}{A + R} = 6{,}6

De onde vem cada valor: 8,48{,}4 = enunciado: média dos aprovados · AA = número de aprovados (incógnita auxiliar) · 3,63{,}6 = enunciado: média dos reprovados · RR = número de reprovados (incógnita auxiliar) · 6,66{,}6 = enunciado: média da turma

8,4A+3,6RA+R=6,6\frac{8{,}4A + 3{,}6R}{A + R} = 6{,}6
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a média de cada grupo pela quantidade de alunos, usando apenas as médias como se fossem notas individuais.

Passo 2 — Isolar a razão entre reprovados e aprovados

A equação do passo 1 tem duas incógnitas (A e R), mas queremos apenas a fração de reprovados. Manipulando algebricamente, conseguimos encontrar a razão R/A, que é o passo intermediário para a porcentagem.

Por que esta fórmula: Multiplicar em cruz elimina a fração e permite agrupar os termos com A e com R, isolando a razão.

8,4A+3,6R=6,6A+6,6R⇒1,8A=3,0R⇒RA=1,83,0=0,68{,}4A + 3{,}6R = 6{,}6A + 6{,}6R \Rightarrow 1{,}8A = 3{,}0R \Rightarrow \frac{R}{A} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6

De onde vem cada valor: 8,4A8{,}4A = passo 1: numerador da média ponderada · 3,6R3{,}6R = passo 1: numerador da média ponderada · 6,6A6{,}6A = passo 1: denominador multiplicado pela média · 6,6R6{,}6R = passo 1: denominador multiplicado pela média · 1,81{,}8 = diferença 8,4 - 6,6 · 3,03{,}0 = diferença 6,6 - 3,6

8,4A+3,6R=6,6A+6,6R⇒1,8A=3,0R⇒RA=1,83,0=0,68{,}4A + 3{,}6R = 6{,}6A + 6{,}6R \Rightarrow 1{,}8A = 3{,}0R \Rightarrow \frac{R}{A} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6
R/A=0,6R/A = \boxed{0{,}6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar os termos de um lado para o outro, ou inverter a razão (A/R em vez de R/A).

Passo 3 — Calcular a fração de reprovados no total

A razão R/A = 0,6 diz que há 0,6 reprovado para cada aprovado, mas a porcentagem pedida é a fração de reprovados em relação ao total de alunos (A + R). Precisamos converter a razão em fração do total.

Por que esta fórmula: Se R = 0,6A, então o total é A + 0,6A = 1,6A. A fração de reprovados é R dividido pelo total.

RA+R=0,6AA+0,6A=0,61,6\frac{R}{A+R} = \frac{0{,}6A}{A + 0{,}6A} = \frac{0{,}6}{1{,}6}

De onde vem cada valor: 0,6A0{,}6A = passo 2: R = 0,6A · A+0,6AA + 0{,}6A = total de alunos: A (aprovados) + R (reprovados) · 1,61{,}6 = soma 1 + 0,6

0,61,6=0,375=0,375\frac{0{,}6}{1{,}6} = 0{,}375 = \boxed{0{,}375}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão R/A = 0,6 diretamente como porcentagem (60%), esquecendo de dividir pelo total.

Passo 4 — Transformar a fração em porcentagem

A fração 0,375 está na forma decimal; a questão pede a porcentagem, que é essa fração multiplicada por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem significa 'por cem': multiplicar o decimal por 100 dá o valor percentual.

0,375×100=37,5%0{,}375 \times 100 = 37{,}5\%

De onde vem cada valor: 0,3750{,}375 = passo 3: fração de reprovados

0,375×100=37,5=37,5 %0{,}375 \times 100 = 37{,}5 = \boxed{37{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e responder 0,375%.

Resposta: 37,5% (alternativa A)

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