Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc063138

Permutações Caóticas (Desarranjos)

Gabarito: letra C (9). O problema descreve uma permutação caótica (ou desarranjo): cada uma das quatro amigas deve usar o vestido de outra, ou seja, nenhuma pode usar o próprio vestido. O número de desarranjos de 4 elementos é $D_4 = 9$ , que é o resultado da fórmula de inclusão-exclusão aplicada a esse caso.

O que a questão cobra é um caso clássico de permutação caótica (também chamada de desarranjo ou derangement). Uma permutação caótica é uma permutação de $n$ elementos em que nenhum elemento permanece em sua posição original. No contexto do problema, cada amiga tem seu vestido (posição original) e deve usar um vestido de outra (não pode ficar na posição original).

A fórmula geral para o número de desarranjos de $n$ elementos é:

D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)

Para $n = 4$ :

D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 24 \cdot \frac{9}{24} = 9

Outra forma de calcular é por recorrência: $D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ , com $D_1 = 0$ e $D_2 = 1$ . Assim, $D_3 = 2 \cdot (1 + 0) = 2$ e $D_4 = 3 \cdot (2 + 1) = 9$ .

A banca explora a confusão entre permutação caótica e permutação simples. Se o candidato calcular $4! = 24$ , erra. Se pensar em arranjo ou combinação, também erra. A pegadinha está em reconhecer a restrição "nenhuma pode usar o próprio vestido".

1D₁ = 0
2D₂ = 1
3D₃ = 2·(1+0) = 2
4D₄ = 3·(2+1) = 9

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 12 corresponde a $4 \times 3$ , que é o número de maneiras de escolher um vestido para a primeira amiga (4 opções) e outro para a segunda (3 opções), ignorando as restrições das demais. Esse raciocínio está incompleto, pois não garante que as outras duas também não usem seus próprios vestidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 15 não corresponde a nenhuma contagem direta relevante. Pode ser resultado de $4! - 9 = 15$ (total de permutações menos os desarranjos), mas isso não é o que o problema pede. O candidato que subtrai o número de desarranjos do total comete um erro conceitual.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O número de desarranjos de 4 elementos é $D_4 = 9$ . Aplicando a fórmula de inclusão-exclusão: $D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 24 \cdot \frac{9}{24} = 9$ . Ou pela recorrência: $D_4 = 3 \cdot (D_3 + D_2) = 3 \cdot (2 + 1) = 9$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 18 é o dobro de 9. Pode ser resultado de $3 \times 3 \times 2 = 18$ , um raciocínio que conta as escolhas de forma incorreta, ou de $4! - 6 = 18$ , subtraindo as permutações que mantêm pelo menos um elemento fixo de forma errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 6 é o número de permutações de 3 elementos ( $3! = 6$ ). O candidato pode ter pensado que, após a primeira amiga escolher, restam 3 opções para a segunda, 2 para a terceira e 1 para a quarta, mas isso não respeita a restrição de ninguém usar o próprio vestido.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a permutação caótica pela permutação simples. O candidato calcula $4! = 24$ e erra, ou conta as escolhas de forma sequencial sem impor a restrição. A chave é reconhecer que nenhuma pode usar o próprio vestido, o que caracteriza o desarranjo.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de desarranjo, use a fórmula de inclusão-exclusão ou a recorrência $D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ . Memorize os primeiros valores: $D_1 = 0$ , $D_2 = 1$ , $D_3 = 2$ , $D_4 = 9$ , $D_5 = 44$ . Isso agiliza a resolução em prova.

Gabarito: letra C