Questão de Matemática — Progressões — FCC 2022

Progressão Geométrica: razão, termo geral e soma dos termos

Gabarito: letra D (primeiro termo = 1). Como $x$, $x+4$ e $x+12$ são termos consecutivos de uma PG, vale a propriedade $(x+4)^2 = x(x+12)$, que fornece $x = 2$. Com isso, a PG é $(2, 6, 18, \ldots)$, de razão $q = 3$, e a soma dos 6 primeiros termos é $S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 728$, que não é 63. A única forma de a soma dos 6 primeiros termos ser 63 é com a PG $(1, 3, 9, 27, 81, 243)$, cuja soma é exatamente 63 — logo o primeiro termo é 1. A resolução completa está abaixo.

A questão combina duas propriedades clássicas da progressão geométrica: a relação entre três termos consecutivos e a fórmula da soma dos $n$ primeiros termos. Vamos por partes.

1. Encontrar $x$ usando a propriedade dos três termos consecutivos.

Numa PG, se $(a, b, c)$ são termos consecutivos, então $b^2 = ac$. Aplicando aos termos $x$, $x+4$ e $x+12$:

Espera — isso dá $x = 4$, não $x = 2$! Vamos refazer com atenção: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ e $x(x+12) = x^2 + 12x$. Igualando: $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 12x \Rightarrow 8x + 16 = 12x \Rightarrow 16 = 4x \Rightarrow x = 4$. Correto, $x = 4$.

Com $x = 4$, os termos são $4$, $8$ e $16$, que formam uma PG de razão $q = 2$. A PG é $(4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots)$.

2. Verificar a soma dos 6 primeiros termos.

A soma dos 6 primeiros termos dessa PG é:

Mas o enunciado afirma que a soma é 63. Há uma contradição! Isso indica que a interpretação inicial está equivocada. Vamos reler o enunciado: "Sabe-se que $x$, $x+4$ e $x+12$, $x \in \mathbb{R}$, são três termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão geométrica é 63."

A pegadinha está em que $x$, $x+4$ e $x+12$ são termos consecutivos, mas não necessariamente os três primeiros termos. Eles podem ser, por exemplo, o 2º, 3º e 4º termos. A condição da soma dos 6 primeiros termos ser 63 é que determina o primeiro termo.

Vamos resolver corretamente:

Seja a PG com primeiro termo $a_1$ e razão $q$. Os termos consecutivos $x$, $x+4$, $x+12$ podem ser escritos como $a_k$, $a_{k+1}$, $a_{k+2}$ para algum $k \geq 1$.

Da propriedade dos três termos consecutivos, já sabemos que $x = 4$ e $q = 2$ (pois $8/4 = 2$ e $16/8 = 2$). Portanto, a razão da PG é $q = 2$.

Agora, a soma dos 6 primeiros termos é 63:

Logo, $a_1 = 1$.

Conferência: a PG é $(1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots)$. Os termos consecutivos $x$, $x+4$, $x+12$ correspondem a $4$, $8$, $16$ (por exemplo, $a_3 = 4$, $a_4 = 8$, $a_5 = 16$). A soma dos 6 primeiros termos é $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$. Perfeito!

Portanto, o primeiro termo é $\boxed{1}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$1/2$ não satisfaz a condição da soma: com $a_1 = 1/2$ e $q = 2$, a soma dos 6 primeiros termos seria $\frac{1/2 \cdot 63}{1} = 31,5$, não 63. O valor $1/2$ é um distrator que surge de quem divide 63 por 126 ou confunde a razão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$3/2$ também não serve: a soma seria $\frac{3/2 \cdot 63}{1} = 94,5$. Esse valor não tem relação direta com os dados, sendo um distrator numérico aleatório.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2$ é o valor de $x$ que alguns candidatos encontram ao errar a equação (por exemplo, esquecendo o termo $8x$). Mas $x$ não é o primeiro termo da PG — é apenas um dos termos consecutivos. Com $a_1 = 2$ e $q = 2$, a soma dos 6 primeiros termos seria $2 \cdot 63 = 126$, não 63.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a razão é $q = 2$ (pois $x = 4$ e os termos são $4, 8, 16$). A soma dos 6 primeiros termos é $S_6 = a_1 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = a_1 \cdot 63$. Igualando a 63, obtemos $a_1 = 1$. A PG é $(1, 2, 4, 8, 16, 32)$, cuja soma é $63$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$5/2$ também não satisfaz: a soma seria $\frac{5/2 \cdot 63}{1} = 157,5$. É outro distrator sem fundamento nos dados.

Gabarito: letra D