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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc063143
Banca
FCC
Órgão
SEDU-ES
Ano
2022
Cargo
Professor MaPB Ensino Fundamental e Médio Matemática
Uma instituição bancária oferece uma taxa de juros de 10% ao ano para depósitos em uma certa aplicação. Um cliente fez um depósito de R$ 100,00 por ano, durante os três primeiros anos, sempre no mesmo dia e mês. Ao completar exatos 4 anos do primeiro depósito e sem fazer qualquer outra operação de depósito ou retirada, o valor que esse cliente possui é, em R$, igual a
  1. A400,51.
  2. B370,00.
  3. C350,10.
  4. D440,56.
  5. E410,51.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 400,51.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 400,51 (alternativa A).

A ideia por trás

Juros compostos são a forma de capitalização em que, a cada período, os juros são calculados sobre o montante já acumulado (capital + juros anteriores). Isso significa que os juros 'rendem juros', fazendo o crescimento ser exponencial. A taxa de 10% ao ano indica que, a cada ano, o valor é multiplicado por 1,10. O montante após t anos de um capital C é dado por M = C × (1,10)^t. Nesta questão, cada depósito de R$ 100,00 rende juros compostos pelo tempo que fica aplicado até o 4º aniversário do primeiro depósito: o primeiro fica 4 anos, o segundo 3 anos e o terceiro 2 anos. O valor total é a soma dos três montantes individuais.

O que a questão dá

  • taxa de juros = 10% ao ano

  • depósito anual = R$ 100,00

  • três depósitos, no mesmo dia e mês, nos três primeiros anos

  • avaliação: exatos 4 anos após o primeiro depósito

O que queremos: o valor total acumulado na aplicação ao completar 4 anos do primeiro depósito

Passo 1 — Calcular o fator de crescimento para cada depósito

Cada depósito rende juros compostos por um número diferente de anos. Precisamos do fator (1,10)^t para cada tempo t, pois é ele que multiplica o depósito para achar o montante.

Por que esta fórmula: No regime de juros compostos, o montante após t anos é o capital vezes (1 + taxa)^t. Como a taxa é 10% = 0,10, o fator é (1,10)^t.

(1,10)t(1{,}10)^t

De onde vem cada valor: 1,101{,}10 = enunciado: taxa de 10% ao ano, então 1 + 0,10 · tt = tempo em anos que cada depósito fica aplicado: 4, 3 e 2

(1,10)4=1,4641=1,4641(1{,}10)^{4} = 1{,}4641 = \boxed{1{,}4641}
NÃO CAIA NESSA!

Usar juros simples, que seria 1 + 0,10×t, em vez de potência.

Passo 2 — Calcular o fator para o segundo depósito

O segundo depósito é feito um ano depois do primeiro, então fica aplicado por 3 anos até o 4º aniversário. Precisamos do fator correspondente.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: montante = capital × (1,10)^t, agora com t = 3.

(1,10)3(1{,}10)^{3}

De onde vem cada valor: 1,101{,}10 = enunciado: taxa de 10% ao ano · 33 = tempo em anos do segundo depósito até a avaliação

(1,10)3=1,331=1,331(1{,}10)^{3} = 1{,}331 = \boxed{1{,}331}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o tempo: achar que todos os depósitos ficam 4 anos.

Passo 3 — Calcular o fator para o terceiro depósito

O terceiro depósito é feito dois anos depois do primeiro, então fica aplicado por 2 anos até a avaliação. Precisamos do fator para t = 2.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula de juros compostos, com t = 2.

(1,10)2(1{,}10)^{2}

De onde vem cada valor: 1,101{,}10 = enunciado: taxa de 10% ao ano · 22 = tempo em anos do terceiro depósito até a avaliação

(1,10)2=1,21=1,21(1{,}10)^{2} = 1{,}21 = \boxed{1{,}21}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o terceiro depósito rende por apenas 2 anos, não 3.

Passo 4 — Calcular o montante de cada depósito

Com os fatores em mãos, multiplicamos cada depósito de R$ 100,00 pelo fator correspondente para obter o valor que cada um terá na data de avaliação.

Por que esta fórmula: O montante de um capital C aplicado a juros compostos por t anos é M = C × (1,10)^t. Aqui C = 100 para todos.

Mi=100×(1,10)tiM_i = 100 \times (1{,}10)^{t_i}

De onde vem cada valor: 100100 = enunciado: depósito anual de R$ 100,00 · (1,10)ti(1{,}10)^{t_i} = passos 1, 2 e 3: fatores 1,4641, 1,331 e 1,21

M1=100×1,4641=146,41;M2=100×1,331=133,10;M3=100×1,21=121,00M_1 = 100 \times 1{,}4641 = 146{,}41; M_2 = 100 \times 1{,}331 = 133{,}10; M_3 = 100 \times 1{,}21 = 121{,}00

M1M_1 = 146,41; 133,10; 121,00

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado ou usar o mesmo fator para todos os depósitos.

Passo 5 — Somar os três montantes

O valor total que o cliente possui é a soma dos valores de cada depósito na data de avaliação, pois não houve retiradas.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos montantes individuais: Total = M_1 + M_2 + M_3.

Total=M1+M2+M3Total = M_1 + M_2 + M_3

De onde vem cada valor: M1M_1 = passo 4: 146,41 · M2M_2 = passo 4: 133,10 · M3M_3 = passo 4: 121,00

Total=146,41+133,10+121,00=400,51Total = 146{,}41 + 133{,}10 + 121{,}00 = \boxed{400{,}51}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos depósitos ou somar errado.

Resposta: R$ 400,51 (alternativa A)

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