GabaritoB — 180.
Gabarito: letra B — a conta chega a 180 palíndromos (alternativa B)..
Um palíndromo é um número que se lê igual da esquerda para a direita e da direita para a esquerda, como 131 ou 4554. A propriedade central é a simetria: os algarismos da primeira metade determinam os da segunda. Para contar quantos existem num intervalo, separamos por quantidade de algarismos e usamos o princípio multiplicativo: escolhemos livremente os algarismos da primeira metade, respeitando a regra de que o primeiro algarismo não pode ser zero (senão o número teria menos algarismos). Nesta questão, o intervalo de 100 a 10.000 inclui todos os números de 3 algarismos (100 a 999) e todos os de 4 algarismos (1.000 a 9.999), mas exclui o 10.000, que não é palíndromo. Por isso, contamos separadamente os palíndromos de 3 e de 4 algarismos e somamos.
intervalo: de 100 a 10.000
palíndromo: número que se lê igual nos dois sentidos
O que queremos: a quantidade de palíndromos entre 100 e 10.000
O intervalo de 100 a 10.000 inclui números de 3 e de 4 algarismos, mas não o 10.000 (que não é palíndromo). Como a contagem é diferente para cada caso, precisamos dividir o problema em duas partes: os números de 100 a 999 (3 algarismos) e os de 1.000 a 9.999 (4 algarismos).
Esquecer de incluir os números de 4 algarismos, contando apenas os de 3.
Um palíndromo de 3 algarismos tem a forma X Y X, em que o primeiro e o último são iguais. O primeiro algarismo (X) não pode ser 0, pois o número teria apenas 2 algarismos (ex.: 010 = 10). O algarismo do meio (Y) pode ser qualquer um de 0 a 9, pois não é a casa de maior valor. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as opções de cada posição.
Por que esta fórmula: Para formar um número de 3 algarismos, escolhemos o primeiro algarismo (9 opções: 1 a 9) e o do meio (10 opções: 0 a 9). O último é obrigatoriamente igual ao primeiro, então não há escolha. O total é o produto das opções independentes.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro algarismo não pode ser 0, então 1 a 9 · = enunciado: algarismo do meio pode ser 0 a 9
Achar que o algarismo do meio também não pode ser 0, contando 9 × 9 = 81.
Um palíndromo de 4 algarismos tem a forma X Y Y X, em que o primeiro e o último são iguais, e o segundo e o terceiro também. O primeiro algarismo (X) não pode ser 0, pois o número teria apenas 3 algarismos (ex.: 0110 = 110). O segundo (Y) pode ser qualquer um de 0 a 9. Novamente usamos o princípio multiplicativo.
Por que esta fórmula: Escolhemos o primeiro algarismo (9 opções) e o segundo (10 opções). O terceiro é igual ao segundo e o quarto igual ao primeiro, então não há escolha adicional. O total é o produto.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro algarismo não pode ser 0, então 1 a 9 · = enunciado: segundo algarismo pode ser 0 a 9
Contar 10 × 10 = 100, permitindo que o primeiro algarismo seja 0, o que incluiria números como 0110 (que é 110).
Como os palíndromos de 3 e de 4 algarismos são conjuntos disjuntos (nenhum número pode ter 3 e 4 algarismos ao mesmo tempo), a quantidade total no intervalo é a soma das duas contagens.
Por que esta fórmula: O total de palíndromos entre 100 e 10.000 é a soma dos que têm 3 algarismos com os que têm 4 algarismos, pois não há outras possibilidades.
De onde vem cada valor: = passo 2: 90 · = passo 3: 90
Esquecer de somar e marcar apenas 90 (alternativa A).
Resposta: 180 palíndromos (alternativa B).
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