Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2022

Matemática Financeira – Juros Simples e Compostos

Gabarito: letra B. O valor dos juros da aplicação em regime simples supera os da aplicação em regime composto em R$ 282,00, conforme cálculo abaixo.

A questão envolve duas aplicações de frações de um mesmo capital $C$, com regimes e prazos diferentes. A chave é converter todas as taxas e prazos para a mesma unidade e montar uma equação a partir da soma dos montantes.

Resolução passo a passo

1. Definição das aplicações

   • Aplicação 1 (juros compostos): capital $C_1 = \frac{2}{3}C$, taxa $i_1 = 3\%$ ao trimestre, prazo $n_1 = 1$ semestre $= 2$ trimestres.

   • Aplicação 2 (juros simples): capital $C_2 = \frac{1}{3}C$, taxa $i_2 = 18\%$ ao ano $= 1,5\%$ ao mês (pois $18\% \div 12 = 1,5\%$), prazo $n_2 = 10$ meses.

1. Montante de cada aplicação

   • $M_1 = C_1 \cdot (1 + i_1)^{n_1} = \frac{2}{3}C \cdot (1,03)^2 = \frac{2}{3}C \cdot 1,0609$

   • $M_2 = C_2 \cdot (1 + i_2 \cdot n_2) = \frac{1}{3}C \cdot (1 + 0,015 \cdot 10) = \frac{1}{3}C \cdot 1,15$

1. Soma dos montantes

   $M_1 + M_2 = 32.718$

   $\frac{2}{3}C \cdot 1,0609 + \frac{1}{3}C \cdot 1,15 = 32.718$

   Multiplicando por 3:

   $2C \cdot 1,0609 + C \cdot 1,15 = 98.154$

   $C \cdot (2 \cdot 1,0609 + 1,15) = 98.154$

   $C \cdot (2,1218 + 1,15) = 98.154 \implies C \cdot 3,2718 = 98.154$

   $C = \frac{98.154}{3,2718} = 30.000$

1. Cálculo dos juros

   • Juros compostos: $J_c = M_1 - C_1 = \frac{2}{3} \cdot 30.000 \cdot 1,0609 - \frac{2}{3} \cdot 30.000 = 20.000 \cdot 1,0609 - 20.000 = 21.218 - 20.000 = 1.218$

   • Juros simples: $J_s = M_2 - C_2 = \frac{1}{3} \cdot 30.000 \cdot 1,15 - \frac{1}{3} \cdot 30.000 = 10.000 \cdot 1,15 - 10.000 = 11.500 - 10.000 = 1.500$

   • Diferença pedida: $J_s - J_c = 1.500 - 1.218 = 282$

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (R$ 240,00)

Este valor aparece se, por exemplo, o capital for calculado erroneamente (R$ 32.000) ou se a diferença for tomada ao contrário (juros compostos menos simples).

Alternativa B — ✅ Correta (R$ 282,00) ⟵ GABARITO

Resultado exato do cálculo demonstrado.

Alternativa C — ❌ Incorreta (R$ 180,00)

Pode surgir se a taxa de juros simples for aplicada como 18% ao ano sobre 10 meses sem converter para taxa mensal (usando $0,18 \times \frac{10}{12}$) e o capital for arredondado.

Alternativa D — ❌ Incorreta (R$ 160,00)

Provável resultado de erro na conversão do prazo da composta (considerar 1 trimestre em vez de 2).

Alternativa E — ❌ Incorreta (R$ 120,00)

Pode ser a diferença se os juros compostos forem calculados com capital integral (sem fracionar) ou se houver inversão de sinais.

Gabarito: letra B