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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2022

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fc063427
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-AP
Ano
2022
Cargo
Fiscal da Receita Estadual - Conhecimentos Gerais
Uma dívida referente a um empréstimo deverá ser quitada por meio de 30 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data em que foi realizada a dívida. Sabe-se que foi utilizado o sistema francês de amortização a uma taxa de 2% ao mês com o valor de cada prestação igual a R$ 8.930,00. Se o saldo devedor da dívida logo após a quitação da 1ª prestação é igual a R$ 195.070,00, então a soma dos valores das amortizações incluídas na 1ª e 2ª prestações é igual a
  1. AR$ 9.860,00
  2. BR$ 7.802,80
  3. CR$ 8.860,80
  4. DR$ 9.958,60
  5. ER$ 8.751,40
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GabaritoD — R$ 9.958,60

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 9.958,60 (alternativa D).

A ideia por trás

No Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), todas as prestações são iguais e cada uma é composta por duas partes: os juros do período (calculados sobre o saldo devedor do início do período) e a amortização (a parcela que efetivamente reduz a dívida). A prestação é constante, mas a composição muda: no início, os juros são altos e a amortização baixa; com o tempo, os juros diminuem e a amortização aumenta. A relação fundamental é PMT = J + A, onde J = i × SD_anterior. Para achar a amortização de um período, primeiro calcula-se o juro sobre o saldo devedor do início do período e subtrai-se da prestação. Nesta questão, temos o saldo devedor após a 1ª prestação, o que permite calcular o juro da 2ª prestação diretamente; para a 1ª, precisamos do saldo devedor inicial, que pode ser obtido somando a amortização da 1ª ao saldo após ela.

O que a questão dá

  • prestação mensal = R$ 8.930,00

  • taxa de juros = 2% ao mês

  • saldo devedor após a 1ª prestação = R$ 195.070,00

  • número de prestações = 30

O que queremos: a soma das amortizações incluídas na 1ª e 2ª prestações

Passo 1 — Calcular o juro da 2ª prestação

O juro de cada período é calculado sobre o saldo devedor do início do período. Como temos o saldo devedor após a 1ª prestação (R$ 195.070,00), esse é o saldo que gera o juro da 2ª prestação. Precisamos desse juro para depois achar a amortização da 2ª.

Por que esta fórmula: A fórmula do juro é J = i × SD, pois o juro é proporcional à dívida e à taxa. Aqui, SD é o saldo devedor no início do 2º mês, que é exatamente o saldo após a 1ª prestação.

J2=i×SD1J_2 = i \times SD_1

De onde vem cada valor: ii = enunciado: 2% ao mês = 0,02 · SD1SD_1 = enunciado: R$ 195.070,00 (saldo devedor após a 1ª prestação)

J2=0,02×195070J_2 = 0{,}02 \times 195070

J2J_2 = R$ 3.901,40

NÃO CAIA NESSA!

Usar o saldo devedor inicial (que não foi dado) em vez do saldo após a 1ª prestação. O saldo correto é o que está no início do 2º período.

Passo 2 — Calcular a amortização da 2ª prestação

A prestação é constante e igual a R$ 8.930,00. Como ela é composta por juros + amortização, subtraindo o juro que acabamos de calcular obtemos a parte que abate a dívida na 2ª prestação.

Por que esta fórmula: A relação PMT = J + A é a definição da Tabela Price: cada prestação paga primeiro os juros do período e o restante amortiza o principal. Portanto, A = PMT - J.

A2=PMT−J2A_2 = PMT - J_2

De onde vem cada valor: PMTPMT = enunciado: R$ 8.930,00 · J2J_2 = passo 1: R$ 3.901,40

A2=8930−3901,40A_2 = 8930 - 3901{,}40

A2A_2 = R$ 5.028,60

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o juro e usar a prestação inteira como amortização.

Passo 3 — Calcular a amortização da 1ª prestação

Precisamos da amortização da 1ª prestação para somar com a da 2ª. Como não temos o saldo devedor inicial, usamos o fato de que o saldo após a 1ª prestação é o saldo inicial menos a amortização da 1ª: SD_1 = SD_0 - A_1. Mas não conhecemos SD_0. Porém, podemos achar A_1 indiretamente: o saldo após a 1ª prestação é o saldo inicial menos a amortização, e o saldo inicial é a prestação capitalizada? Não, melhor: o saldo inicial é o valor presente das 30 prestações, mas não precisamos dele. Na verdade, a amortização da 1ª é a diferença entre a prestação e o juro da 1ª, e o juro da 1ª é i × SD_0. Mas SD_0 não é dado. No entanto, podemos usar a relação SD_1 = SD_0 - A_1 e também A_1 = PMT - J_1, com J_1 = i × SD_0. Isso dá um sistema, mas há um caminho mais direto: o saldo devedor após a 1ª prestação é o valor presente das 29 prestações restantes. Mas isso é mais complicado. Na verdade, a FCC costuma dar o saldo devedor inicial no texto-base, mas aqui não temos. Mas podemos calcular SD_0 a partir da fórmula do valor presente: SD_0 = PMT × (1 - (1+i)^-n)/i, com n=30. Vamos fazer isso.

Por que esta fórmula: O saldo devedor inicial é o valor presente das 30 prestações, pois o empréstimo é quitado por 30 prestações iguais. A fórmula do valor presente de uma série uniforme é VP = PMT × [1 - (1+i)^-n]/i.

SD0=PMT×1−(1+i)−niSD_0 = PMT \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

De onde vem cada valor: PMTPMT = enunciado: R$ 8.930,00 · ii = enunciado: 0,02 · nn = enunciado: 30

SD0=8930×1−(1+0,02)−300,02SD_0 = 8930 \times \frac{1 - (1+0{,}02)^{-30}}{0{,}02}

SD0SD_0 = R$ 200.000,00 (aproximadamente)

NÃO CAIA NESSA!

Não lembrar da fórmula do valor presente. Se errar aqui, todo o resto sai errado.

Passo 4 — Calcular o juro da 1ª prestação

Com o saldo devedor inicial em mãos, podemos calcular o juro do primeiro mês, que incide sobre esse saldo. Isso é necessário para achar a amortização da 1ª prestação.

Por que esta fórmula: O juro do primeiro período é a taxa vezes o saldo devedor inicial, pois o saldo no início do 1º mês é o valor do empréstimo.

J1=i×SD0J_1 = i \times SD_0

De onde vem cada valor: ii = enunciado: 0,02 · SD0SD_0 = passo 3: R$ 200.000,00

J1=0,02×200000J_1 = 0{,}02 \times 200000

J1J_1 = R$ 4.000,00

NÃO CAIA NESSA!

Usar o saldo após a 1ª prestação para calcular o juro da 1ª, o que daria R$ 3.901,40, mas isso é o juro da 2ª.

Passo 5 — Calcular a amortização da 1ª prestação

Assim como na 2ª prestação, a amortização da 1ª é a prestação menos o juro do 1º mês. Agora temos o juro correto.

Por que esta fórmula: A mesma relação PMT = J + A vale para todos os períodos, pois a prestação é constante.

A1=PMT−J1A_1 = PMT - J_1

De onde vem cada valor: PMTPMT = enunciado: R$ 8.930,00 · J1J_1 = passo 4: R$ 4.000,00

A1=8930−4000A_1 = 8930 - 4000

A1A_1 = R$ 4.930,00

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o juro da 1ª com o da 2ª. O juro da 1ª é sobre o saldo inicial, que é maior.

Passo 6 — Somar as duas amortizações

A questão pede a soma das amortizações da 1ª e 2ª prestações. Já temos os dois valores, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é direta: A_1 + A_2.

A1+A2A_1 + A_2

De onde vem cada valor: A1A_1 = passo 5: R$ 4.930,00 · A2A_2 = passo 2: R$ 5.028,60

4930+5028,604930 + 5028{,}60

R$ 9.958,60

NÃO CAIA NESSA!

Somar a amortização da 1ª com a prestação inteira da 2ª, ou usar o juro errado.

Resposta: R$ 9.958,60 (alternativa D)

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