Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2022

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 24 bolinhas (alternativa B).

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada frase do enunciado vira uma equação, e as incógnitas são as quantidades de bolinhas de André (A) e de Bruno (B). A primeira condição iguala as quantidades após André dar 2 bolinhas; a segunda impõe que, após Bruno dar 2, André fique com o dobro de Bruno. Resolver o sistema significa achar os valores de A e B que satisfazem as duas equações simultaneamente. Nesta questão, o total é a soma A + B.

O que a questão dá

• André e Bruno possuem bolinhas de gude

• Se André der 2 para Bruno, ficam com a mesma quantidade

• Se Bruno der 2 para André, André fica com o dobro de Bruno

O que queremos: o total de bolinhas que André e Bruno possuem

Passo 1 — Montar a equação da primeira condição

A primeira frase do enunciado descreve uma situação de transferência de bolinhas: André dá 2 e Bruno recebe 2. Para transformar isso em equação, precisamos representar as quantidades após a troca: André fica com A - 2 e Bruno com B + 2. Como eles ficam com a mesma quantidade, essas expressões são iguais.

Por que esta fórmula: A igualdade A - 2 = B + 2 traduz exatamente 'André dá 2 para Bruno e eles ficam com a mesma quantidade'. Quem dá subtrai, quem recebe soma.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: quantidade de bolinhas de André (incógnita) · $B$ = enunciado: quantidade de bolinhas de Bruno (incógnita) · $2$ = enunciado: André dá 2 bolinhas

Passo 2 — Montar a equação da segunda condição

A segunda frase descreve outra transferência: agora Bruno dá 2 para André. Após essa troca, André fica com A + 2 e Bruno com B - 2. O enunciado diz que André fica com o dobro de Bruno, então A + 2 é igual a 2 vezes (B - 2).

Por que esta fórmula: A expressão A + 2 = 2 * (B - 2) representa 'André fica com o dobro de Bruno' após Bruno dar 2. O fator 2 multiplica a quantidade de Bruno.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: quantidade de bolinhas de André · $B$ = enunciado: quantidade de bolinhas de Bruno · $2$ = enunciado: Bruno dá 2 bolinhas

Passo 3 — Simplificar as duas equações

Para resolver o sistema, é mais fácil trabalhar com equações na forma A - B = ... e A - 2B = ... . Isso permite eliminar uma incógnita por subtração.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, isolamos A - B: A - 2 = B + 2 → A - B = 4. Da segunda, expandimos e isolamos: A + 2 = 2B - 4 → A - 2B = -6.

De onde vem cada valor: $A - B = 4$ = passo 1: A - 2 = B + 2, subtraindo B e somando 2 dos dois lados · $A - 2B = -6$ = passo 2: A + 2 = 2B - 4, subtraindo 2B e subtraindo 2 dos dois lados

Passo 4 — Subtrair as equações para achar B

Com as duas equações na forma A - B = 4 e A - 2B = -6, subtrair a segunda da primeira elimina A, sobrando uma equação só com B.

Por que esta fórmula: Subtraindo (A - 2B) de (A - B), o A cancela: (A - B) - (A - 2B) = A - B - A + 2B = B. Do lado direito, 4 - (-6) = 10. Então B = 10.

De onde vem cada valor: $A - B$ = passo 3: primeira equação simplificada · $A - 2B$ = passo 3: segunda equação simplificada · $4$ = passo 3: lado direito da primeira · $-6$ = passo 3: lado direito da segunda

Passo 5 — Substituir B para achar A

Com B = 10, usamos uma das equações simplificadas para encontrar A. Escolhemos A - B = 4 porque é a mais simples.

Por que esta fórmula: Substituindo B = 10 em A - B = 4, temos A - 10 = 4. Somando 10 dos dois lados, A = 14.

De onde vem cada valor: $A$ = incógnita · $10$ = passo 4: valor de B · $4$ = passo 3: primeira equação simplificada

Passo 6 — Calcular o total de bolinhas

O problema pede o total de bolinhas que André e Bruno possuem juntos. Com os valores de A e B encontrados, basta somá-los.

Por que esta fórmula: O total é a soma das quantidades individuais: A + B. Substituindo A = 14 e B = 10, temos 14 + 10 = 24.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 5: 14 · $B$ = passo 4: 10

Resposta: 24 bolinhas (alternativa B)