Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064464

Processo de Wiener: média e variância de Ws + Wt

Gabarito: letra B. Para um movimento browniano padrão, $E[W_t] = 0$ e $Var(W_t) = t$ . Como $W_s$ e $W_t$ são variáveis aleatórias com distribuição normal, a média de $W_s + W_t$ é $E[W_s] + E[W_t] = 0 + 0 = 0$ . A variância é $Var(W_s) + Var(W_t) + 2Cov(W_s, W_t)$ . Para $s < t$ , $Cov(W_s, W_t) = s$ , logo $Var(W_s + W_t) = s + t + 2s = 3s + t$ . A alternativa correta é a letra B.

O processo de Wiener, também chamado de movimento browniano padrão, é um dos processos estocásticos mais fundamentais. Ele é caracterizado por incrementos independentes e estacionários, além de trajetórias contínuas. As propriedades listadas no enunciado são exatamente a definição axiomática desse processo.

Para resolver a questão, precisamos calcular a média e a variância da soma $W_s + W_t$ . A média é direta: como cada $W_t$ tem média zero, a soma também tem média zero. A variância é mais sutil, pois envolve a covariância entre $W_s$ e $W_t$ , que não é zero quando os instantes de tempo se sobrepõem.

A covariância entre $W_s$ e $W_t$ (assumindo $s \le t$ ) é dada por $Cov(W_s, W_t) = E[W_s W_t] = E[W_s (W_t - W_s + W_s)] = E[W_s (W_t - W_s)] + E[W_s^2]$ . Como $W_s$ e $W_t - W_s$ são independentes (incrementos independentes), o primeiro termo é zero, e o segundo é $Var(W_s) = s$ . Portanto, $Cov(W_s, W_t) = s$ .

Aplicando a fórmula da variância da soma:

Var(W_s + W_t) = Var(W_s) + Var(W_t) + 2Cov(W_s, W_t) = s + t + 2s = 3s + t

Caso	Atribuição (s < t)	Resultado
Média de Ws + Wt	E[Ws] = 0, E[Wt] = 0	E[Ws + Wt] = 0
Covariância Cov(Ws, Wt)	Ws e Wt − Ws independentes	Cov(Ws, Wt) = s
Variância de Ws + Wt	Var(Ws) = s, Var(Wt) = t, Cov = s	Var = s + t + 2s = 3s + t
Alternativa A	Média = 1, Variância = st	Incorreta
Alternativa B	Média = 0, Variância = 3s + t	Correta (Gabarito)
Alternativa C	Média = 1, Variância = s + t	Incorreta
Alternativa D	Média = 0, Variância = s + 3t	Incorreta
Alternativa E	Média = 0, Variância = (st)²	Incorreta

Alternativa A — ❌ Incorreta

A média não é 1, pois $E[W_s] = E[W_t] = 0$ . A variância também não é $st$ ; esse valor seria a covariância se os incrementos fossem independentes, mas aqui há sobreposição.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média é 0, pois cada $W_t$ tem média zero. A variância é $3s + t$ , calculada acima, considerando a covariância $Cov(W_s, W_t) = s$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

A média não é 1. A variância $s + t$ seria correta apenas se $W_s$ e $W_t$ fossem independentes, o que não é o caso, pois há sobreposição de intervalos de tempo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A média é 0, mas a variância $s + 3t$ inverte os coeficientes. O correto é $3s + t$ , pois a covariância é $s$ , não $t$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

A média é 0, mas a variância $(st)^2$ não tem relação com a estrutura do processo de Wiener. A variância é linear no tempo, não quadrática no produto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a variância de incrementos independentes e a variância de variáveis sobrepostas. Muitos candidatos somam $s + t$ diretamente, esquecendo a covariância $Cov(W_s, W_t) = s$ . Lembre-se: para $s < t$ , a covariância é sempre o menor tempo, e a variância da soma é $3s + t$ .

PEGA ESSA DICA!

Para processos com incrementos independentes, a covariância entre $W_s$ e $W_t$ (com $s \le t$ ) é sempre $s$ . Use essa regra para calcular variâncias de somas sem errar.

Gabarito: letra B