Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064468

EstatísticaProgramação Linear

Código: fc064468
Banca: FCC
Órgão: TRT - 17ª Região (ES)
Ano: 2022

Cargo: Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística

Atenção: Para responder à questão, considere o código na linguagem R.

Y<-c(2,3,2,4,3,5,6,3,4) #1

X1<-c(10,13,9,18,12,22,27,13,21) #2

X2<-c(6,10,4,10,10,17,16,9,13) #3

dados<-data.frame(cbind(Y,X1,X2)) #4

modelo <- lm(Y ~ X1 + X2, data = dados) #5

summary(modelo) #6

coef(modelo) #7

formula(modelo) #8

plot(modelo) #9

p <- as.data.frame(cbind(13,4)) #10

colnames(p) <- cbind("X1","X2") #11

predict(modelo, newdata=p) #12

vcov(modelo) #13

Intercept<-rep(1,times=9) #14

X<-cbind(Intercept,X1,X2) #15

t(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y) #16

residuals(modelo) #17

Os comandos das linhas 14 a 16 produzem o mesmo resultado que o comando

Acoef(modelo)
Bpredict(modelo, newdata=p)
Cvcov(modelo)
Dformula(modelo)
Eresiduals(modelo)

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — coef(modelo)

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Regressão Linear Múltipla: estimação dos coeficientes por álgebra matricial

Gabarito: letra A. Os comandos das linhas 14 a 16 calculam os coeficientes do modelo de regressão linear múltipla pela fórmula matricial $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ , que é exatamente o que a função coef(modelo) retorna. A linha 15 monta a matriz de delineamento $X$ com a coluna de 1s (intercepto) e as colunas das variáveis preditoras; a linha 16 aplica a fórmula dos mínimos quadrados ordinários (MQO).

A questão cobra o entendimento da estimação por MQO em sua forma matricial. O modelo de regressão linear múltipla é $Y = X\beta + \varepsilon$ , onde $Y$ é o vetor de respostas, $X$ é a matriz de delineamento (com uma coluna de 1s para o intercepto e as colunas das variáveis explicativas), $\beta$ é o vetor de coeficientes e $\varepsilon$ é o vetor de erros. O estimador de mínimos quadrados é obtido minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, o que leva à solução de equações normais $X'X\hat{\beta} = X'Y$ , cuja solução é $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ . É exatamente essa expressão que a linha 16 calcula: t(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y). A transposição no início (t(...)) é apenas para apresentar o resultado como um vetor linha, no mesmo formato que coef(modelo) retorna.

A pegadinha da banca está em confundir o que cada função do R retorna: coef(modelo) extrai os coeficientes estimados; predict() calcula valores preditos para novos dados; vcov() retorna a matriz de covariâncias dos estimadores; formula() mostra a especificação do modelo; e residuals() retorna os resíduos. Cada uma dessas funções tem um propósito distinto, e a questão testa exatamente essa distinção.

Funções do R em regressão: coef(modelo) (Coeficientes estimados (β̂), ✅ Igual a (X'X)⁻¹X'Y); predict(modelo, newdata) (Valores preditos); vcov(modelo) (Matriz de covariâncias (σ̂²(X'X)⁻¹)); formula(modelo) (Especificação (Y ~ X1 + X2)); residuals(modelo) (Resíduos (e = Y − Xβ̂))

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A linha 16 calcula $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ , que é a solução das equações normais do MQO. A função coef(modelo) extrai exatamente esses coeficientes estimados do objeto modelo. Portanto, os comandos das linhas 14 a 16 produzem o mesmo resultado que coef(modelo).

Alternativa B — ❌ Incorreta

predict(modelo, newdata=p) calcula os valores preditos para novos dados (no caso, para $X_1=13$ e $X_2=4$ ). Isso é diferente dos coeficientes estimados. A linha 16 retorna os coeficientes, não as predições.

Alternativa C — ❌ Incorreta

vcov(modelo) retorna a matriz de covariâncias dos estimadores dos coeficientes, que é $\hat{\sigma}^2 (X'X)^{-1}$ . A linha 16 calcula apenas os coeficientes, não a matriz de covariâncias.

Alternativa D — ❌ Incorreta

formula(modelo) retorna a fórmula do modelo, ou seja, Y ~ X1 + X2. Isso é a especificação do modelo, não os coeficientes estimados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

residuals(modelo) retorna os resíduos do modelo, ou seja, $e = Y - X\hat{\beta}$ . A linha 16 calcula os coeficientes, não os resíduos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os diferentes outputs das funções do R. O candidato pode confundir coef(modelo) com predict() ou residuals(). A chave é lembrar que a fórmula matricial $(X'X)^{-1}X'Y$ é a estimativa dos coeficientes, e é isso que coef() retorna.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões assim, identifique o que cada função do R retorna: coef() → coeficientes; predict() → valores preditos; vcov() → matriz de covariâncias; formula() → especificação do modelo; residuals() → resíduos. Memorize essa correspondência.

Gabarito: letra A

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