Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064473

EstatísticaAmostragem

Código: fc064473
Banca: FCC
Órgão: TRT - 17ª Região (ES)
Ano: 2022

Cargo: Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística

Atenção: Para responder à questão, considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi , com i = 1, 2,..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Yi = βo + β1Xi + ei , onde βo e β1 são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro ei é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com ei ~ N(0,σ2) .

Considere uma amostra aleatória de 10 pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi , com i = 1,2, ..., 10.A estimação dos parâmetros β₀ e β₁ pelo método dos mínimos quadrados fornece, respectivamente, os valores

A= 120,8 e = 6,6
B= 80,4 e = 4,6
C= 66,5 e = 6,6
D= 100,2 e = 5,6
E= 120,8 e = 5,6

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — = 120,8 e = 6,6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Regressão linear simples: estimação por mínimos quadrados

Gabarito: letra A. Os estimadores de mínimos quadrados para os parâmetros da regressão linear simples $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + e_i$ são $\hat{\beta}_1 = 6{,}6$ e $\hat{\beta}_0 = 120{,}8$ . O coeficiente angular $\hat{\beta}_1$ é calculado pela razão entre a covariância amostral e a variância amostral de $X$ ; o intercepto $\hat{\beta}_0$ é obtido pela relação $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$ . A alternativa A é a única que apresenta exatamente esses dois valores.

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma variável independente $X$ por meio de uma reta. O método dos mínimos quadrados busca os valores de $\beta_0$ e $\beta_1$ que minimizam a soma dos quadrados dos erros, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados $Y_i$ e os valores ajustados pela reta. As fórmulas dos estimadores são:

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}

A banca explora a confusão entre os dois parâmetros: o candidato pode acertar o coeficiente angular, mas errar o intercepto, ou vice-versa. As alternativas combinam valores de $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ de forma a testar se o aluno sabe qual é qual. O valor de $\hat{\beta}_1 = 6{,}6$ aparece em três alternativas (A, C e E), enquanto $\hat{\beta}_0 = 120{,}8$ aparece em duas (A e E). A alternativa correta é a que combina ambos corretamente.

1Calcular médias X̄ e Ȳ
2Calcular SXX e SXY
3β̂₁ = SXY / SXX
4β̂₀ = Ȳ − β̂₁·X̄

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\hat{\beta}_0 = 120{,}8$ e $\hat{\beta}_1 = 6{,}6$ . Esses são os valores que satisfazem as equações normais dos mínimos quadrados para a amostra de 10 pares. O intercepto $\hat{\beta}_0$ é a estimativa do valor de $Y$ quando $X = 0$ , e o coeficiente angular $\hat{\beta}_1$ é a variação esperada em $Y$ para cada unidade de variação em $X$ . A combinação correta é exatamente esta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\hat{\beta}_0 = 80{,}4$ e $\hat{\beta}_1 = 4{,}6$ . Ambos os valores estão incorretos. O intercepto 80,4 não corresponde ao valor calculado pelas fórmulas, e o coeficiente angular 4,6 também não. A banca coloca valores plausíveis, mas que não resultam das equações normais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\hat{\beta}_0 = 66{,}5$ e $\hat{\beta}_1 = 6{,}6$ . O coeficiente angular está correto, mas o intercepto está errado. O candidato que calculou $\hat{\beta}_1$ corretamente, mas errou o $\hat{\beta}_0$ , pode cair nesta alternativa. O intercepto 66,5 não é o valor que satisfaz $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\hat{\beta}_0 = 100{,}2$ e $\hat{\beta}_1 = 5{,}6$ . Ambos os valores estão incorretos. O coeficiente angular 5,6 é um distrator que não corresponde à razão entre covariância e variância de $X$ . O intercepto 100,2 também não é o valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\hat{\beta}_0 = 120{,}8$ e $\hat{\beta}_1 = 5{,}6$ . O intercepto está correto, mas o coeficiente angular está errado. O candidato que acertou o $\hat{\beta}_0$ , mas errou o $\hat{\beta}_1$ , pode cair nesta alternativa. O valor 5,6 é um distrator para o coeficiente angular.

NÃO CAIA NESSA!

A banca mistura os valores corretos de $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ entre as alternativas. O candidato que calcula apenas um dos parâmetros corretamente pode ser atraído por uma alternativa parcialmente correta. A dica é sempre conferir os dois valores: o coeficiente angular $\hat{\beta}_1$ é a razão entre a covariância e a variância de $X$ , e o intercepto $\hat{\beta}_0$ é a média de $Y$ menos o produto do coeficiente angular pela média de $X$ . Com treino, você identifica a combinação correta rapidamente 💪

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de regressão linear, organize os cálculos: primeiro calcule as médias $\bar{X}$ e $\bar{Y}$ , depois a soma dos quadrados $S_{XX}$ e a soma dos produtos $S_{XY}$ . Com esses valores, $\hat{\beta}_1 = S_{XY}/S_{XX}$ e $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$ . Confira sempre se os dois valores estão coerentes entre si.

Gabarito: letra A.

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