Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064474

EstatísticaInferência estatística

Código: fc064474
Banca: FCC
Órgão: TRT - 17ª Região (ES)
Ano: 2022

Cargo: Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística

Atenção: Para responder à questão, considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi , com i = 1, 2,..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Yi = βo + β1Xi + ei , onde βo e β1 são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro ei é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com ei ~ N(0,σ2) .

Se para uma amostra aleatória de 100 pares de valores referentes a um estudo específico o intervalo de confiança de 95% calculado para β₁ é dado por [−1,2;1,8] e considerando o nível de significância de 5%, então

Aa reta ajustada passa pela origem.
Bnão há influência linear de X em Y.
Chá uma correlação linear positiva entre X e Y.
Dhá uma correlação linear negativa entre X e Y.
Eo coeficiente de determinação é 1.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — não há influência linear de X em Y.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Intervalo de confiança e teste de hipóteses para β₁

Gabarito: letra B. Como o intervalo de confiança de 95% para β₁ é [−1,2; 1,8], o valor 0 está contido no intervalo. Isso significa que, ao nível de significância de 5%, não se rejeita a hipótese nula H₀: β₁ = 0, ou seja, não há evidência estatística de influência linear de X em Y. A alternativa B é a única que reflete corretamente essa conclusão.

A questão explora a relação entre intervalo de confiança e teste de hipóteses na regressão linear simples. O modelo é $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + e_i$ , com $e_i \sim N(0, \sigma^2)$ . O parâmetro β₁ mede a variação esperada em Y para cada unidade de variação em X. Se β₁ = 0, a reta é horizontal e X não tem influência linear sobre Y.

O intervalo de confiança de 95% para β₁ é construído como:

\hat{\beta}_1 \pm t_{n-2;\,0.025} \cdot s_{\hat{\beta}_1}

No caso, o intervalo é [−1,2; 1,8]. Como o valor 0 está dentro desse intervalo, a hipótese nula $H_0: \beta_1 = 0$ não é rejeitada ao nível de 5% de significância. Isso é equivalente a dizer que o teste t para β₁ não é significativo, e portanto não há evidência de relação linear entre X e Y.

A pegadinha da banca está em confundir a não rejeição de H₀ com a ausência de correlação ou com a reta passando pela origem. O intervalo conter o zero não diz nada sobre β₀ (o intercepto), nem sobre o sinal da correlação, nem sobre o coeficiente de determinação.

Hipótese	IC 95% para β₁	0 ∈ IC?	Decisão (α = 5%)	Conclusão sobre β₁
H₀: β₁ = 0	[−1,2; 1,8]	Sim	Não rejeita H₀	β₁ não é significativamente diferente de 0
H₁: β₁ ≠ 0	[−1,2; 1,8]	—	Não há evidência para H₁	Não se pode afirmar influência linear de X em Y

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a reta ajustada passa pela origem. Isso seria verdade se β₀ = 0, mas o intervalo de confiança fornecido é apenas para β₁. Nada no enunciado permite concluir sobre β₀. A reta passa pela origem somente se o intercepto for zero, o que não é testado aqui.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como o intervalo de confiança de 95% para β₁ inclui o valor 0, não rejeitamos $H_0: \beta_1 = 0$ ao nível de 5%. Isso significa que não há evidência estatística de que X influencie linearmente Y. A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há correlação linear positiva entre X e Y. Uma correlação positiva implicaria β₁ > 0, mas o intervalo [−1,2; 1,8] contém valores negativos e positivos, incluindo o zero. Não há evidência de que β₁ seja positivo, portanto não se pode afirmar correlação positiva.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que há correlação linear negativa entre X e Y. Isso exigiria β₁ < 0, mas o intervalo também contém valores positivos e o zero. Não há evidência de que β₁ seja negativo, portanto não se pode afirmar correlação negativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente de determinação é 1. O coeficiente de determinação $R^2$ mede a proporção da variabilidade de Y explicada pelo modelo. Se β₁ não é significativamente diferente de zero, o modelo linear não explica bem a variação de Y, e $R^2$ certamente não é 1. Além disso, o enunciado não fornece informações para calcular $R^2$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato confundir "não rejeitar H₀" com "não há correlação" ou com "a reta passa pela origem". O intervalo conter o zero é o ponto-chave: isso indica que β₁ pode ser zero, logo não há influência linear. Cuidado para não inferir o sinal da correlação ou o valor do intercepto a partir do intervalo de β₁.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que o intervalo de confiança de um parâmetro incluir o valor sob a hipótese nula (geralmente 0), a conclusão é a não rejeição de H₀. Essa equivalência entre intervalo e teste é muito cobrada em provas. Memorize: se 0 ∈ IC, então β₁ não é significativo.

Gabarito: letra B.

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