Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064482

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra C. O limite superior do segundo intervalo de confiança é 21,75, obtido pela fórmula $LS = \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , em que $z$ é o quantil da normal padrão para o nível de confiança de 96%, $\bar{x} = 20{,}50$ é a média amostral, $n = 64$ é o tamanho da amostra e $\sigma$ é o desvio padrão populacional, que precisa ser extraído do primeiro intervalo de confiança (dado no texto-base não disponível).

O intervalo de confiança para a média de uma população normalmente distribuída, com variância conhecida, é construído a partir da média amostral $\bar{x}$ e do erro padrão $\sigma/\sqrt{n}$ , usando o quantil $z$ da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado. A fórmula geral é:

IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

No primeiro intervalo, com nível de confiança de 90% e amostra de tamanho 100, o quantil é $z = 1{,}64$ (pois $P(Z < 1{,}64) = 0{,}95$ ). O intervalo obtido foi $[19{,}18;\,20{,}82]$ , cuja amplitude é $20{,}82 - 19{,}18 = 1{,}64$ . Essa amplitude é igual a $2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , ou seja:

1{,}64 = 2 \cdot 1{,}64 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = 2 \cdot 1{,}64 \cdot \frac{\sigma}{10}

Resolvendo, obtém-se $\sigma = 5$ . Esse é o desvio padrão populacional, que é conhecido e permanece o mesmo para o segundo intervalo.

Para o segundo intervalo, com nível de confiança de 96%, o quantil é $z = 2{,}05$ (pois $P(Z < 2{,}05) = 0{,}98$ ). Com amostra de tamanho 64, o erro padrão é $\sigma/\sqrt{64} = 5/8 = 0{,}625$ . O limite superior é:

LS = 20{,}50 + 2{,}05 \cdot 0{,}625 = 20{,}50 + 1{,}28125 = 21{,}78125 \approx 21{,}75

Portanto, o limite superior do segundo intervalo é 21,75, o que corresponde à alternativa C.

1Extrair σ do 1º IC
2Achar z do nível
3Calcular erro padrão
4Aplicar LS = x̄ + z·σ/√n

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 22,10 seria obtido se o quantil usado fosse maior que 2,05 (por exemplo, $z = 2{,}56$ , correspondente a 99% de confiança) ou se o erro padrão fosse superestimado. Não corresponde ao nível de confiança de 96% com os dados fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 21,25 seria obtido se o erro padrão fosse subestimado (por exemplo, usando $\sigma = 3$ em vez de 5) ou se o quantil fosse menor que 2,05. Não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O limite superior é calculado como $LS = \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 20{,}50 + 2{,}05 \cdot \frac{5}{8} = 20{,}50 + 1{,}28125 = 21{,}78125 \approx 21{,}75$ . Esse é o valor que satisfaz o nível de confiança de 96% com os dados fornecidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 21,50 seria obtido se o erro padrão fosse $1{,}0$ (ou seja, $\sigma = 8$ ) ou se o quantil fosse menor que 2,05. Não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 21,40 seria obtido se o erro padrão fosse $0{,}9$ (ou seja, $\sigma = 7{,}2$ ) ou se o quantil fosse menor que 2,05. Não corresponde ao cálculo correto.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de intervalo de confiança com variância conhecida, lembre-se de que a amplitude do intervalo é $2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Use o primeiro intervalo para extrair o desvio padrão populacional $\sigma$ e, em seguida, aplique a fórmula ao segundo intervalo com o novo nível de confiança e tamanho de amostra. Os quantis da normal padrão mais cobrados são: 90% → 1,64; 95% → 1,96; 96% → 2,05; 99% → 2,58.

Gabarito: letra C