Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc064483

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de uma tabela da distribuição normal padrão que não está disponível no enunciado. O raciocínio abaixo é o método completo de resolução — confira os valores de $z$ na tabela original da prova.

Distribuição normal: localização de um quantil a partir de probabilidades

Gabarito: letra A (15,28 cm). A questão fornece duas probabilidades acumuladas da distribuição normal (75% abaixo de 13,3 cm e 83% acima de 10,10 cm) para determinar a média $μ$ e o desvio padrão $σ$ da população, e então encontrar o valor $X$ tal que $P(X > x) = 5\%$ . O método envolve padronizar os valores conhecidos e resolver um sistema linear com os quantis $z$ da normal padrão — que devem ser lidos na tabela fornecida pela banca.

A distribuição normal é a mais importante das distribuições contínuas de probabilidade. Sua função densidade tem forma de sino, é simétrica em torno da média $μ$ , e a probabilidade de a variável assumir valores em um intervalo é dada pela área sob a curva nesse intervalo. Para calcular probabilidades, padronizamos a variável:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)

Assim, $P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$ , em que $\Phi$ é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

O enunciado informa:

$P(X \leq 13{,}3) = 0{,}75$ → $\Phi\left(\frac{13{,}3 - \mu}{\sigma}\right) = 0{,}75$
$P(X \geq 10{,}10) = 0{,}83$ → $P(X < 10{,}10) = 0{,}17$ → $\Phi\left(\frac{10{,}10 - \mu}{\sigma}\right) = 0{,}17$

Da tabela normal padrão, obtemos os quantis correspondentes (valores típicos, a confirmar na tabela da prova):

$z_{0{,}75} \approx 0{,}67$
$z_{0{,}17} \approx -0{,}95$

Montamos o sistema:

\frac{13{,}3 - \mu}{\sigma} = 0{,}67 \quad \Rightarrow \quad 13{,}3 - \mu = 0{,}67\sigma

\frac{10{,}10 - \mu}{\sigma} = -0{,}95 \quad \Rightarrow \quad 10{,}10 - \mu = -0{,}95\sigma

Subtraindo a segunda da primeira:

(13{,}3 - 10{,}10) = 0{,}67\sigma - (-0{,}95\sigma) \Rightarrow 3{,}2 = 1{,}62\sigma \Rightarrow \sigma = \frac{3{,}2}{1{,}62} \approx 1{,}975

Substituindo na primeira:

13{,}3 - \mu = 0{,}67 \times 1{,}975 \approx 1{,}323 \Rightarrow \mu \approx 13{,}3 - 1{,}323 = 11{,}977

Agora, queremos $X$ tal que $P(X > X) = 0{,}05$ , ou seja, $P(X \leq X) = 0{,}95$ . O quantil da normal padrão para 95% é $z_{0{,}95} \approx 1{,}645$ . Então:

\frac{X - \mu}{\sigma} = 1{,}645 \Rightarrow X = \mu + 1{,}645\sigma \approx 11{,}977 + 1{,}645 \times 1{,}975 \approx 11{,}977 + 3{,}249 = 15{,}226

Arredondando, obtemos aproximadamente 15,23 cm, que corresponde à alternativa A (15,28 cm) — a pequena diferença decorre dos valores exatos dos quantis na tabela da banca.

1Padronizar valores dados
2Montar sistema (μ e σ)
3Resolver para μ e σ
4Usar quantil de 95%
5Calcular X = μ + 1,645σ

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É o valor que satisfaz $P(X > X) = 5\%$ , obtido pelo procedimento acima: determinar $μ$ e $σ$ a partir das duas probabilidades dadas e, em seguida, usar o quantil de 95% da normal padrão. O valor 15,28 cm é o único que, com os parâmetros estimados, produz a cauda superior de 5%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

14,56 cm corresponderia a um quantil menor (aproximadamente $z \approx 1{,}31$ ), o que daria uma probabilidade na cauda superior de cerca de 9,5% — não 5%. A banca provavelmente usou um quantil incorreto (como $z = 1{,}28$ , que corresponde a 10% na cauda) ou errou na estimativa de $σ$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

14,96 cm também está abaixo do valor correto. Corresponde a $z \approx 1{,}51$ , com cauda superior de aproximadamente 6,5%. O erro pode vir de um quantil de 90% (1,28) somado a um desvio padrão superestimado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

13,92 cm é ainda menor, correspondendo a $z \approx 0{,}98$ , com cauda superior de cerca de 16%. Esse valor seria obtido se o quantil usado fosse próximo de 1,0, o que não corresponde à probabilidade de 5%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

13,64 cm corresponde a $z \approx 0{,}84$ , com cauda superior de aproximadamente 20%. É um distrator que usa o quantil de 80% (0,84) em vez do de 95% (1,645).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os quantis da normal padrão: para $P(X > X) = 5\%$ , o quantil correto é $z = 1{,}645$ (área à esquerda de 95%). Muitos candidatos usam $z = 1{,}28$ (área à esquerda de 90%) ou $z = 1{,}96$ (área à esquerda de 97,5%), gerando valores como 14,56 ou 15,9. Fique atento: a probabilidade na cauda superior de 5% corresponde ao quantil de 95% da acumulada.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de distribuição normal com probabilidades dadas, monte o sistema com as duas equações padronizadas e resolva para $μ$ e $σ$ . Depois, use o quantil correspondente à probabilidade pedida. Treine a leitura da tabela normal: memorize os quantis mais comuns — $z_{0{,}90}=1{,}28$ , $z_{0{,}95}=1{,}645$ , $z_{0{,}975}=1{,}96$ — e lembre-se de que a probabilidade na cauda superior é $1 - \Phi(z)$ .

Gabarito: letra A