Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FCC 2022

Variância relativa na distribuição gama

Gabarito: letra E. A função geradora de momentos $M_X(t) = (1 - 2t)^{-3}$ corresponde a uma distribuição gama com parâmetros $\alpha = 3$ e $\lambda = 2$. Para a gama, a média é $E[X] = \alpha/\lambda = 3/2$ e a variância é $Var(X) = \alpha/\lambda^2 = 3/4$. A variância relativa é $Var(X)/E[X]^2 = (3/4)/(9/4) = 1/3$.

A questão exige dois conhecimentos: identificar os parâmetros da distribuição gama a partir da função geradora de momentos (FGM) e calcular a variância relativa. A FGM da gama com parâmetros $\alpha$ e $\lambda$ é $M(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^\alpha$, válida para $t < \lambda$. Comparando com a FGM dada, temos $\alpha = 3$ e $\lambda = 2$. A média e a variância da gama são $E[X] = \alpha/\lambda$ e $Var(X) = \alpha/\lambda^2$. A variância relativa, também chamada de coeficiente de variação ao quadrado, é $Var(X)/E[X]^2 = (\alpha/\lambda^2)/(\alpha^2/\lambda^2) = 1/\alpha$. Portanto, para $\alpha = 3$, a variância relativa é $1/3$.

A pegadinha da banca está em exigir que o candidato reconheça a FGM da gama e saiba extrair os parâmetros corretamente. Muitos candidatos podem confundir a FGM da gama com a da exponencial ou errar na identificação de $\lambda$, levando a um resultado incorreto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1/12$ não corresponde a nenhum cálculo direto com os parâmetros da distribuição. Se o candidato errasse ao identificar $\alpha = 3$ e $\lambda = 2$, poderia obter $1/12$ ao calcular $1/(\alpha \cdot \lambda^2)$ ou algo similar, mas isso não tem base teórica. A variância relativa correta é $1/\alpha = 1/3$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $1/6$ também não é o resultado correto. Poderia surgir de um erro ao calcular $1/(2\alpha)$ ou ao confundir a variância relativa com outra medida. A fórmula correta é $1/\alpha$, que para $\alpha = 3$ resulta em $1/3$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $1/4$ não corresponde ao cálculo correto. Se o candidato errasse ao identificar $\alpha = 4$ ou $\lambda = 2$ de forma incorreta, poderia chegar a esse valor, mas a FGM dada claramente indica $\alpha = 3$. A variância relativa é $1/3$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $1/9$ é um distrator comum. Ele poderia surgir se o candidato calculasse $1/\alpha^2$ em vez de $1/\alpha$, ou se errasse ao identificar os parâmetros. A fórmula correta é $1/\alpha = 1/3$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E está correta porque a variância relativa da distribuição gama é $1/\alpha$. Com $\alpha = 3$, temos $1/3$. O cálculo completo: $E[X] = \alpha/\lambda = 3/2$, $Var(X) = \alpha/\lambda^2 = 3/4$, e $Var(X)/E[X]^2 = (3/4)/(9/4) = 1/3$.

Gabarito: letra E