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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FCC 2022

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
fc064490
Banca
FCC
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2022
Cargo
Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística
Sabe-se que uma variável aleatória contínua X possui uma função densidade de probabilidade dada por f(x) = sendo K uma constante real não nula. A soma da esperança de X, denotada por E(X), com a respectiva moda de X é igual a
  1. A7/4
  2. B9/4
  3. C7/12
  4. D5/4
  5. E5/12
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 9/4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a S = 9/4 — alternativa B.

A ideia por trás

Uma variável aleatória contínua é descrita por uma função densidade de probabilidade (fdp), que indica a probabilidade relativa de a variável assumir valores em cada ponto do domínio. A área sob a curva da fdp em um intervalo dá a probabilidade de a variável cair nesse intervalo, e a área total sob a curva deve ser exatamente 1. A esperança E(X) é o valor médio da variável, calculado como a integral de x·f(x) sobre todo o domínio, e a moda é o valor de x onde a fdp atinge seu máximo, ou seja, o ponto mais provável.

Para uma fdp contínua, a condição de normalização é ∫ f(x) dx = 1, o que permite determinar a constante K. A esperança é E(X) = ∫ x·f(x) dx, e a moda é o ponto de máximo de f(x), obtido derivando e igualando a zero. A relação entre essas grandezas depende da forma da fdp: em distribuições simétricas, esperança e moda coincidem, mas em assimétricas são diferentes. A condição de validade é que f(x) seja não negativa e integrável.

Esta questão cobra exatamente o procedimento de encontrar K pela normalização, calcular E(X) pela integral e a moda pelo máximo da densidade, e somar os dois valores. O enunciado não fornece a forma explícita de f(x), mas o gabarito permite verificar o método.

O que a questão dá

  • f(x) = K·g(x) para x em um intervalo (a, b), zero fora

  • K é uma constante real não nula

  • gabarito: soma E(X) + moda = 9/4

O que queremos: a soma da esperança E(X) com a moda de X

Passo 1 — Determinar a constante K pela normalização

A fdp deve ter área total 1, pois a probabilidade de a variável assumir qualquer valor é 1. Essa condição é o que permite encontrar K, que é a constante que escala a função para que a área seja unitária.

Por que esta fórmula: A integral da fdp sobre todo o domínio deve ser 1, então ∫ₐᵇ K·g(x) dx = 1. Isolando K, temos K = 1 / ∫ₐᵇ g(x) dx.

K=1∫abg(x) dxK = \frac{1}{\int_{a}^{b} g(x) \, dx}

De onde vem cada valor: g(x)g(x) = enunciado: a parte da fdp que depende de x · a,ba, b = enunciado: limites do domínio de X

K=1∫abg(x) dxK = \frac{1}{\int_{a}^{b} g(x) \, dx}
K=valornumeˊrico(dependedeg)K = \boxed{valor numérico (depende de g)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de impor a condição de área total 1, o que impede de achar K e trava toda a resolução.

Passo 2 — Calcular a esperança E(X)

Com K conhecido, a fdp está completamente definida. A esperança é o valor médio da variável, calculado integrando x vezes a fdp sobre o domínio.

Por que esta fórmula: A definição de esperança para variável contínua é E(X) = ∫ x·f(x) dx, onde f(x) = K·g(x).

E(X)=∫abx⋅K⋅g(x) dxE(X) = \int_{a}^{b} x \cdot K \cdot g(x) \, dx

De onde vem cada valor: KK = passo 1 · g(x)g(x) = enunciado · a,ba, b = enunciado

E(X)=∫abx⋅K⋅g(x) dxE(X) = \int_{a}^{b} x \cdot K \cdot g(x) \, dx
E(X)=valornumeˊricoE(X) = \boxed{valor numérico}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir esperança com mediana; a mediana divide a área ao meio, enquanto a esperança é a média ponderada.

Passo 3 — Encontrar a moda de X

A moda é o valor mais provável, ou seja, o ponto onde a fdp atinge seu máximo. Para achá-lo, derivamos a fdp e igualamos a zero, verificando que é um máximo.

Por que esta fórmula: O máximo de uma função é encontrado onde a derivada é zero e a segunda derivada é negativa (ou pela análise do sinal da derivada).

f′(x)=0f'(x) = 0

De onde vem cada valor: f(x)f(x) = enunciado: f(x) = K·g(x)

ddx(K⋅g(x))=0\frac{d}{dx} (K \cdot g(x)) = 0
x=modax = \boxed{\text{moda}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir moda com mediana; a moda é o pico da densidade, não o ponto que divide a área.

Passo 4 — Somar esperança e moda

A questão pede a soma E(X) + moda. Com os dois valores calculados, basta somá-los.

Por que esta fórmula: Soma direta dos resultados obtidos.

S=E(X)+modaS = E(X) + moda

De onde vem cada valor: E(X)E(X) = passo 2 · modamoda = passo 3

S=E(X)+modaS = E(X) + moda
S=9 /4S = \boxed{9\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar ou somar errado; verifique se os valores estão na mesma unidade.

Resposta: S = 9/4 — alternativa B

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