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Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FCC 2022

EstatísticaEstatística descritiva (análise exploratória de dados)
Código
fc064495
Banca
FCC
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2022
Cargo
Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística
A tabela de frequências relativas abaixo corresponde à distribuição dos salários (S) dos empregados em uma empresa, em salários mínimos (SM). A média aritmética dos salários (Me) foi obtida considerando que todos os valores de uma classe de salários coincidem com o ponto médio da respectiva classe. A mediana dos salários (Md) foi obtida utilizando o método da interpolação linear. Seja fi a frequência relativa correspondente a cada classe de salários (i = 1, 2, 3, 4, 5).Classes de salários (SM) Frequências relativas (%)1 < S ≤ 3 f 13 < S ≤ 5 f 25 < S ≤ 7 f 37 < S ≤ 9 f 49 < S ≤ 11 f 5Total 100Se 20f₁ = 8f₂ = 5f₃ = 10f₄ = 40f₅, então a moda dos salários (Mo) obtida pela relação de Pearson, ou seja: Mo = 3Md − 2Me, é, em SM, igual a
  1. A5,75
  2. B5,40
  3. C5,70
  4. D5,85
  5. E5,80
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5,85

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Mo = 5,85 SM — alternativa D.

A ideia por trás

A moda é o valor que mais se repete em um conjunto de dados. Quando os dados estão agrupados em classes, não dá para apontar um valor exato, então usamos fórmulas empíricas. A relação de Pearson é uma dessas fórmulas: ela estima a moda a partir da média e da mediana, que são mais fáceis de calcular com dados agrupados. Ela funciona bem quando a distribuição é aproximadamente simétrica ou levemente assimétrica.

A relação de Pearson é Mo = 3Md - 2Me. Nela, Me é a média aritmética (soma de todos os valores dividida pelo total), Md é a mediana (valor que separa os 50% menores dos 50% maiores) e Mo é a moda. Essa fórmula é exata para distribuições perfeitamente simétricas e é uma boa aproximação para as moderadamente assimétricas. Para calcular Me e Md com dados agrupados, usamos os pontos médios das classes e a interpolação linear na classe mediana.

Esta questão fornece uma relação entre as frequências relativas das classes, o que permite descobrir cada frequência. Com elas, calculamos a média e a mediana, e então aplicamos a relação de Pearson para obter a moda.

O que a questão dá

  • classes de salários: 1 < S ≤ 3, 3 < S ≤ 5, 5 < S ≤ 7, 7 < S ≤ 9, 9 < S ≤ 11 (SM)

  • frequências relativas: f1, f2, f3, f4, f5 (%)

  • total de frequências: 100%

  • relação: 20f1 = 8f2 = 5f3 = 10f4 = 40f5

O que queremos: a moda dos salários (Mo) pela relação de Pearson: Mo = 3Md - 2Me

Passo 1 — Descobrir as frequências relativas

Para calcular média e mediana, precisamos saber quanto cada classe representa no total. A relação 20f1 = 8f2 = 5f3 = 10f4 = 40f5 nos dá uma proporção entre as frequências, mas não os valores absolutos. Igualando tudo a uma constante k, conseguimos expressar cada frequência em função de k e usar o total de 100% para achar k.

Por que esta fórmula: A igualdade 20f1 = 8f2 = ... = k é uma forma de transformar a proporção em equações. Cada frequência fica como uma fração de k, e a soma delas é 100%. Isso é um sistema linear simples.

fi=kcoeficientef_i = \frac{k}{\text{coeficiente}}

De onde vem cada valor: kk = constante de proporcionalidade · coeficientecoeficiente = enunciado: 20, 8, 5, 10, 40

f1=k20,f2=k8,f3=k5,f4=k10,f5=k40f_1 = \frac{k}{20}, f_2 = \frac{k}{8}, f_3 = \frac{k}{5}, f_4 = \frac{k}{10}, f_5 = \frac{k}{40}

f1 = 10%, f2 = 25%, f3 = 40%, f4 = 20%, f5 = 5%

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as frações corretamente ou errar o MMC; confira sempre se a soma dá 100%.

Passo 2 — Calcular a média aritmética

A média é a primeira medida que precisamos para a relação de Pearson. Com dados agrupados, usamos o ponto médio de cada classe como representante de todos os valores daquela classe, multiplicado pela frequência relativa.

Por que esta fórmula: A média de uma distribuição de frequências é a soma dos produtos (ponto médio × frequência) dividida pelo total de frequências. Como as frequências estão em porcentagem, dividimos por 100.

Me=∑(xi⋅fi)100Me = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{100}

De onde vem cada valor: xix_i = definição: ponto médio de cada classe (2, 4, 6, 8, 10) · fif_i = passo 1: 10, 25, 40, 20, 5

Me=2⋅10+4⋅25+6⋅40+8⋅20+10⋅5100=5,70 SMMe = \frac{2 \cdot 10 + 4 \cdot 25 + 6 \cdot 40 + 8 \cdot 20 + 10 \cdot 5}{100} = \boxed{5{,}70\ \text{SM}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar os limites das classes em vez dos pontos médios; por exemplo, usar 1 e 3 em vez de 2.

Passo 3 — Calcular a mediana

A mediana é o valor que divide os dados ao meio. Como temos classes, precisamos encontrar a classe que contém o 50º percentil e interpolar dentro dela.

Por que esta fórmula: A fórmula de interpolação linear para a mediana é Md = L + ( (n/2 - F_ant) / f_med ) * h, onde L é o limite inferior da classe mediana, n é o total (100), F_ant é a frequência acumulada antes da classe, f_med é a frequência da classe e h é a amplitude da classe.

Md=L+n2−Fantfmed⋅hMd = L + \frac{\frac{n}{2} - F_{ant}}{f_{med}} \cdot h

De onde vem cada valor: LL = definição: limite inferior da classe mediana (5) · nn = enunciado: total de frequências = 100 · FantF_{ant} = passo 1: soma das frequências antes da classe mediana = 10 + 25 = 35 · fmedf_{med} = passo 1: frequência da classe mediana = 40 · hh = definição: amplitude da classe = 2

Md=5+50−3540⋅2=5,75 SMMd = 5 + \frac{50 - 35}{40} \cdot 2 = \boxed{5{,}75\ \text{SM}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a frequência acumulada incluindo a classe mediana em vez de antes dela; isso desloca a mediana.

Passo 4 — Aplicar a relação de Pearson

Com a média e a mediana em mãos, a relação de Pearson nos dá a moda diretamente. É uma fórmula empírica que relaciona as três medidas.

Por que esta fórmula: A relação de Pearson é Mo = 3Md - 2Me. Ela é usada quando a moda não é óbvia, como em dados agrupados.

Mo=3⋅Md−2⋅MeMo = 3 \cdot Md - 2 \cdot Me

De onde vem cada valor: MdMd = passo 3: 5,75 SM · MeMe = passo 2: 5,70 SM

Mo=3⋅5,75−2⋅5,70=5,85 SMMo = 3 \cdot 5{,}75 - 2 \cdot 5{,}70 = \boxed{5{,}85\ \text{SM}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os coeficientes: usar 2Md - 3Me ou esquecer de multiplicar.

Resposta: Mo = 5,85 SM — alternativa D

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