Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2022

Modelos ARMA(1,1): estacionariedade e invertibilidade

Gabarito: letra D. O modelo 1 é estacionário e invertível, pois o coeficiente autorregressivo (0,8) e o coeficiente de médias móveis (0,3) têm módulo menor que 1; o modelo 2 é não estacionário, pois o coeficiente autorregressivo (1,5) tem módulo maior que 1. A condição para estacionariedade de um ARMA(1,1) é que a raiz do polinômio autorregressivo esteja fora do círculo unitário, o que equivale a $|\phi_1| < 1$; para invertibilidade, a raiz do polinômio de médias móveis deve estar fora do círculo unitário, o que equivale a $|\theta_1| < 1$.

Um modelo ARMA(1,1) é escrito como $Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + a_t - \theta_1 a_{t-1}$, onde $\phi_1$ é o parâmetro autorregressivo e $\theta_1$ é o parâmetro de médias móveis. A estacionariedade exige que as raízes do polinômio autorregressivo $1 - \phi_1 B = 0$ estejam fora do círculo unitário, ou seja, $|\phi_1| < 1$. A invertibilidade exige que as raízes do polinômio de médias móveis $1 - \theta_1 B = 0$ estejam fora do círculo unitário, ou seja, $|\theta_1| < 1$. Essas condições são essenciais para que o processo tenha propriedades estatísticas estáveis e possa ser representado de forma única.

A banca explora a confusão entre os dois conceitos: muitos candidatos verificam apenas a estacionariedade e esquecem a invertibilidade, ou invertem os papéis dos coeficientes. Aqui, o modelo 1 tem $\phi_1 = 0,8$ e $\theta_1 = 0,3$, ambos com módulo menor que 1, satisfazendo as duas condições. O modelo 2 tem $\phi_1 = 1,5$, que viola a condição de estacionariedade, e $\theta_1 = 0,6$, que satisfaz a invertibilidade. Portanto, o modelo 1 é estacionário e invertível, enquanto o modelo 2 é apenas invertível, mas não estacionário.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os dois modelos são não estacionários. Isso é falso para o modelo 1, pois $|\phi_1| = 0,8 < 1$, garantindo estacionariedade. O modelo 2, de fato, é não estacionário, mas a afirmação generaliza incorretamente para ambos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o modelo 2 é invertível e estacionário. O modelo 2 é invertível (pois $|\theta_1| = 0,6 < 1$), mas não é estacionário, pois $|\phi_1| = 1,5 > 1$. A alternativa erra ao atribuir estacionariedade ao modelo 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o modelo 1 é invertível e o modelo 2 é estacionário. O modelo 1 é de fato invertível, mas o modelo 2 não é estacionário (mesmo erro da alternativa B). A combinação está parcialmente correta, mas a parte sobre o modelo 2 é falsa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O modelo 1 tem $\phi_1 = 0,8$ e $\theta_1 = 0,3$, ambos com módulo menor que 1, portanto é estacionário e invertível. O modelo 2 tem $\phi_1 = 1,5$, violando a condição de estacionariedade, mas $\theta_1 = 0,6$, satisfazendo a invertibilidade. A alternativa descreve exatamente essa situação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os dois modelos são estacionários. Isso é falso para o modelo 2, pois $|\phi_1| = 1,5 > 1$. A alternativa ignora a violação da condição de estacionariedade no modelo 2.

Gabarito: letra D