Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2022

Previsão de longo prazo em modelo AR(1)

Gabarito: letra B. A previsão n passos à frente para a variável Z converge para 5, que é a média incondicional do processo AR(1) estacionário, calculada pela fórmula $\mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1} = \frac{2}{1 - 0,6} = 5$. Como o coeficiente autorregressivo $\phi_1 = 0,6$ tem módulo menor que 1, o processo é estacionário e a previsão de longo prazo tende à média do processo, não a 0, 2 ou infinito.

O modelo AR(1) é dado por $Z_t = \delta + \phi_1 Z_{t-1} + a_t$, onde $a_t$ é ruído branco com média zero. Para que o processo seja estacionário, a raiz da equação característica $1 - \phi_1 B = 0$ deve estar fora do círculo unitário, ou seja, $|B| > 1$. Aqui, $1 - 0,6B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{0,6} \approx 1,67$, que é maior que 1, confirmando a estacionariedade. Em um processo estacionário, a média é constante ao longo do tempo, $E[Z_t] = E[Z_{t-1}] = \mu$. Tomando a esperança da equação do modelo:

Como $E[a_t] = 0$ e $E[Z_t] = E[Z_{t-1}] = \mu$, temos:

Substituindo $\delta = 2$ e $\phi_1 = 0,6$:

A previsão n passos à frente, $E[Z_{t+n}]$, converge para essa média à medida que n cresce, pois o efeito dos valores passados decai geometricamente (fator $0,6^n \to 0$).

A pegadinha da questão está em confundir a média do processo com o termo constante $\delta = 2$ ou com o coeficiente $\phi_1 = 0,6$. A média não é o intercepto, mas sim a razão entre o intercepto e $1 - \phi_1$. Além disso, como o processo é estacionário, a previsão não diverge para infinito.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0 seria a média se $\delta = 0$, mas aqui $\delta = 2$. A média do processo é $\mu = 5$, não 0. O erro é ignorar o termo constante na fórmula da média.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média incondicional do AR(1) estacionário é $\mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1} = \frac{2}{1 - 0,6} = 5$. A previsão de longo prazo converge para esse valor, pois o processo é estacionário e o efeito dos choques passados se dissipa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,60 é o coeficiente autorregressivo $\phi_1$, não a média do processo. A média é calculada pela fórmula acima, resultando em 5. O erro é confundir o parâmetro de persistência com o nível de longo prazo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A previsão não diverge para infinito porque o processo é estacionário ($|\phi_1| < 1$). A condição de estacionariedade garante que a série oscila em torno de uma média finita, e a previsão converge para essa média.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2 é o termo constante $\delta$ do modelo, não a média. A média é $\mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1} = 5$. O erro é confundir o intercepto com a média do processo.

Gabarito: letra B