Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc066416

Distribuição Qui-Quadrado: Esperança de X²

Gabarito: letra B. Para uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com $k$ graus de liberdade, a esperança é $E(X) = k$ e a variância é $Var(X) = 2k$ . Como $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ , temos $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = 2k + k^2$ . Com $k = 4$ , obtemos $E(X^2) = 2 \cdot 4 + 4^2 = 8 + 16 = 24$ .

A distribuição qui-quadrado é um caso particular da distribuição gama, com parâmetros $\alpha = k/2$ e $\beta = 2$ . Ela é amplamente utilizada em testes de hipóteses, como o teste de independência e o teste de aderência, e na construção de intervalos de confiança para a variância de populações normais. A questão cobra diretamente os momentos dessa distribuição, exigindo que o candidato conheça as fórmulas da média e da variância.

A pegadinha mais comum nesse tipo de questão é confundir a esperança de $X^2$ com o quadrado da esperança de $X$ , ou seja, calcular $[E(X)]^2 = 16$ em vez de $E(X^2) = 24$ . A banca explora exatamente essa confusão, oferecendo 16 como alternativa (letra A).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 16 corresponde a $[E(X)]^2 = 4^2$ , ou seja, o quadrado da média. Mas a questão pede $E(X^2)$ , que é o segundo momento, e não o quadrado do primeiro momento. A relação correta é $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$ , e não $E(X^2) = [E(X)]^2$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$ com $k = 4$ : $Var(X) = 2 \cdot 4 = 8$ e $E(X) = 4$ . Logo, $E(X^2) = 8 + 16 = 24$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 8 corresponde apenas à variância $Var(X) = 2k = 8$ , mas a questão pede $E(X^2)$ , que é a soma da variância com o quadrado da média. Esquecer de somar $[E(X)]^2$ leva a esse erro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 12 não corresponde a nenhum momento simples da distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. Pode ser uma tentativa de calcular $k + Var(X) = 4 + 8 = 12$ , mas a fórmula correta é $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18 não corresponde a nenhum momento simples da distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. Pode ser uma tentativa de calcular $k^2 + k = 16 + 4 = 20$ ou outra combinação incorreta, mas a fórmula correta é $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca $E(X^2)$ por $[E(X)]^2$ . O candidato que calcula o quadrado da média obtém 16 (letra A), mas a questão pede o segundo momento, que é 24. Lembre-se: $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$ .

PEGA ESSA DICA!

Para a qui-quadrado, memorize: $E(X) = k$ e $Var(X) = 2k$ . Com isso, $E(X^2) = 2k + k^2$ . Para $k = 4$ , o resultado é 24. Essa fórmula aparece em várias questões de concursos.

Gabarito: letra B