Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc067095

Estimação de proporção: erro amostral máximo

Gabarito: letra E. O erro amostral máximo para estimar uma proporção com 95% de confiança, usando a variância máxima (p = 0,5) e amostra de n = 1067, é de 3,0%. O cálculo é $E = z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{1067}} \approx 0{,}030$ .

A questão pede o erro amostral máximo esperado para estimar uma proporção. Como a proporção populacional é desconhecida, usamos a variância máxima, que ocorre quando $p = 0{,}5$ , pois $p(1-p)$ atinge seu maior valor nesse ponto. O erro amostral é dado por:

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

Para 95% de confiança, o valor crítico é $z = 1{,}96$ (fornecido no enunciado). Substituindo:

E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{1067}} = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25}{1067}}

\sqrt{\frac{0{,}25}{1067}} = \sqrt{0{,}0002343} \approx 0{,}01531

E = 1{,}96 \cdot 0{,}01531 \approx 0{,}0300 = 3{,}0\%

O erro amostral máximo é de aproximadamente 3,0%, o que corresponde à alternativa E.

1p = 0,5 (variância máxima)
2z = 1,96 (95%)
3E = z·√(p(1-p)/n)
4E ≈ 3,0%

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4,0% seria obtido se usássemos $z = 2{,}0$ (aproximação grosseira) ou se o tamanho da amostra fosse menor. Com os dados fornecidos, o cálculo correto resulta em 3,0%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 5,3% não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Poderia surgir de um erro de arredondamento ou do uso de $z = 1{,}65$ (para 90% de confiança) com um denominador incorreto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 2,0% seria obtido se a amostra fosse maior (aproximadamente 2401) ou se usássemos um nível de confiança menor. Com n = 1067, o erro é 3,0%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1,5% é a metade do erro correto, o que ocorreria se usássemos $z = 0{,}98$ (metade de 1,96) ou se a amostra fosse quatro vezes maior.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo com $p = 0{,}5$ , $n = 1067$ e $z = 1{,}96$ resulta em $E \approx 0{,}030$ , ou seja, 3,0%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre usar a proporção amostral (desconhecida) e a variância máxima. Como não temos estimativa de $p$ , devemos usar $p = 0{,}5$ , que maximiza o erro. Quem tentasse usar um valor diferente ou esquecesse de maximizar a variância chegaria a um dos distratores.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de tamanho de amostra ou erro amostral para proporção, quando a proporção não é dada, use sempre $p = 0{,}5$ . Memorize a fórmula $E = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ e lembre que para 95% de confiança, $z = 1{,}96$ .

Gabarito: letra E