Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc067859

Progressão Aritmética: distribuição cíclica de valores

Gabarito: letra C (100 reais). A sequência de valores distribuídos é 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... (uma PA de razão 1), e a cada três termos o ciclo se repete: Antonio recebe os termos de ordem 1, 4, 7, ...; Bernardo os de ordem 2, 5, 8, ...; Carlos os de ordem 3, 6, 9, ... . Como a soma dos primeiros n termos da PA é dada por $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ , precisamos encontrar o maior n tal que $S_n \leq 300$ , e então somar os termos que cabem a Bernardo.

A questão envolve uma progressão aritmética (PA) de razão 1, mas com uma distribuição cíclica entre três pessoas. O padrão é: 1 (Antonio), 2 (Bernardo), 3 (Carlos), 4 (Antonio), 5 (Bernardo), 6 (Carlos), e assim por diante. Ou seja, a cada três valores consecutivos, cada neto recebe exatamente um valor, e os valores que cada um recebe formam uma PA: Antonio recebe 1, 4, 7, ... (PA de razão 3); Bernardo recebe 2, 5, 8, ... (PA de razão 3); Carlos recebe 3, 6, 9, ... (PA de razão 3).

O total distribuído é a soma dos primeiros n termos da PA 1, 2, 3, ..., n, que é $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ . Precisamos do maior n tal que $S_n \leq 300$ . Vamos testar:

$n = 24$ : $S_{24} = \frac{24 \cdot 25}{2} = 300$ . Exatamente 300! Portanto, a distribuição completa exatamente 24 valores, de 1 a 24.

Agora, quantos valores Bernardo recebe? Como o ciclo é de 3, e 24 é múltiplo de 3, cada neto recebe $24/3 = 8$ valores. Bernardo recebe os valores de ordem 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 e 23, ou seja, os valores: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23. A soma desses valores é uma PA de 8 termos, primeiro termo 2, último 23, razão 3. A soma é:

S = \frac{(2 + 23) \cdot 8}{2} = \frac{25 \cdot 8}{2} = 100.

Portanto, Bernardo recebeu 100 reais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

108 reais. Esse valor seria obtido se Bernardo recebesse os valores de ordem 2, 5, 8, ..., 26 (9 termos), mas isso exigiria que a distribuição fosse até o termo 26, cuja soma seria $S_{26} = \frac{26 \cdot 27}{2} = 351$ , ultrapassando os 300 reais. Ou seja, a banca induz a contar um termo a mais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

92 reais. Esse valor não corresponde a nenhuma soma simples dos termos de Bernardo. Se Bernardo recebesse apenas os 7 primeiros termos de sua sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20), a soma seria 77; com 8 termos, 100. 92 não é soma de uma PA de razão 3 com primeiro termo 2.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

100 reais. Como calculado, a distribuição completa exatamente 24 valores (soma 300), e Bernardo recebe os 8 valores de ordem 2, 5, 8, ..., 23, cuja soma é 100. A conta: $\frac{(2+23)\cdot 8}{2} = 100$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

102 reais. Esse valor seria obtido se Bernardo recebesse os valores 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 e ainda um valor extra, mas não há valor extra, pois a distribuição termina exatamente no 24º termo. 102 não é soma de uma PA de razão 3 com primeiro termo 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

104 reais. Esse valor seria obtido se Bernardo recebesse os valores 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 e 26 (9 termos), mas o termo 26 não é distribuído, pois a soma até 26 ultrapassa 300. A soma dos 9 primeiros termos da sequência de Bernardo seria $\frac{(2+26)\cdot 9}{2} = 126$ , não 104. Portanto, 104 não corresponde a nenhuma soma plausível.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato somar os valores de Bernardo sem perceber que a distribuição para exatamente no termo 24 (soma 300). Se o candidato contar 9 termos para Bernardo (até o 26), a soma seria 126, que não está nas opções, mas ele pode errar ao calcular o número de termos. O segredo é primeiro descobrir quantos termos totais são distribuídos: $S_n = 300$ → $n = 24$ . Como 24 é múltiplo de 3, cada neto recebe 8 valores. A partir daí, a soma é direta.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de distribuição cíclica, identifique o ciclo (aqui, 3 pessoas) e use a soma da PA para achar o número total de termos. Depois, divida pelo ciclo para saber quantos termos cada um recebe. Para somar os termos de cada pessoa, use a fórmula da soma de PA: $S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ .

Gabarito: letra C