Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

Problema de contagem e equações lineares

Gabarito: letra B. Maria bebeu apenas água em 2 dias. A resolução parte de um sistema linear: se $x$ é o número de dias com 9 sucos, $y$ o número de dias com 2 isotônicos e $z$ o número de dias com 1 isotônico e 4 sucos, então $x + y + z = 8$ (pois 2 dias foram só água), $9x + 4z = 30$ e $2y + z = 9$. Resolvendo, obtemos $x = 2$, $y = 3$, $z = 3$, e os 2 dias restantes foram de água.

O problema é um clássico de sistemas lineares com interpretação de contexto. A chave está em traduzir as três opções de consumo diário em equações e usar o total de dias (10) para descobrir quantos dias não houve consumo de suco nem isotônico. Vamos montar o sistema com calma.

Seja:

• $x$ = dias em que Maria bebeu 9 sucos verdes (e 0 isotônicos);

• $y$ = dias em que bebeu 2 isotônicos (e 0 sucos);

• $z$ = dias em que bebeu 1 isotônico e 4 sucos verdes;

• $w$ = dias em que bebeu apenas água.

O total de dias é 10: $x + y + z + w = 10$.

O total de sucos é 30: cada dia do tipo $x$ contribui com 9 sucos, cada dia do tipo $z$ com 4 sucos, e os demais com 0. Logo: $9x + 4z = 30$.

O total de isotônicos é 9: cada dia do tipo $y$ contribui com 2, cada dia do tipo $z$ com 1. Logo: $2y + z = 9$.

Agora resolvemos. Da equação dos isotônicos, $z = 9 - 2y$. Como $z$ é inteiro não negativo, $y$ pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Substituindo na equação dos sucos: $9x + 4(9 - 2y) = 30 \Rightarrow 9x + 36 - 8y = 30 \Rightarrow 9x - 8y = -6 \Rightarrow 9x = 8y - 6$.

Testando os valores possíveis de $y$:

• $y = 0$: $9x = -6$ (impossível);

• $y = 1$: $9x = 2$ (não inteiro);

• $y = 2$: $9x = 10$ (não inteiro);

• $y = 3$: $9x = 18 \Rightarrow x = 2$ (ok);

• $y = 4$: $9x = 26$ (não inteiro).

Portanto, $x = 2$, $y = 3$, $z = 9 - 2\cdot 3 = 3$. Substituindo na equação do total de dias: $2 + 3 + 3 + w = 10 \Rightarrow w = 2$.

Logo, Maria bebeu apenas água em 2 dias.

Alternativa A — ❌ Incorreta

3 dias. Se $w = 3$, então $x + y + z = 7$. Testando as equações, não há solução inteira que satisfaça $9x + 4z = 30$ e $2y + z = 9$ com $x + y + z = 7$. O sistema só fecha com $w = 2$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

2 dias. Como demonstrado, a única solução inteira possível é $x = 2$, $y = 3$, $z = 3$, o que deixa $w = 10 - 8 = 2$ dias apenas com água.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1 dia. Se $w = 1$, então $x + y + z = 9$. Testando, por exemplo, $y = 3$ e $z = 3$ daria $x = 3$, mas $9\cdot 3 + 4\cdot 3 = 39 \neq 30$. Nenhuma combinação satisfaz as três equações com $w = 1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

4 dias. Se $w = 4$, então $x + y + z = 6$. Com $y$ máximo 4 (pois $z = 9 - 2y \geq 0$), teríamos $x$ negativo ou fracionário. Não há solução.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5 dias. Se $w = 5$, então $x + y + z = 5$. A equação dos sucos exige $9x + 4z = 30$, mas com $x + z \leq 5$, o máximo de sucos seria $9\cdot 5 = 45$ (se $z=0$) ou combinações que não atingem 30 com inteiros não negativos. Impossível.

Gabarito: letra B