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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc068040
Banca
FCC
Órgão
PGE-AM
Ano
2022
José observou que a média aritmética das idades de seus 6 primos, em anos, era 25, a mediana era 24,5 e a moda era 24 anos. Ao se incluir no grupo, a média passou a ser 26. A idade de José e a nova mediana são, respectivamente,
  1. A30 e 24
  2. B26 e 25
  3. C32 e 25
  4. D30 e 26
  5. E32 e 24,5
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GabaritoC — 32 e 25

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Idade de José: 32 anos; nova mediana: 25. Alternativa C..

A ideia por trás

Média, mediana e moda são medidas que resumem um conjunto de números. A média é a soma dividida pela quantidade; a mediana é o valor que fica no meio quando os números estão em ordem (para quantidade par, é a média dos dois centrais); a moda é o valor que mais se repete. A média depende de todos os valores, então somar um número novo muda a soma total; a mediana depende apenas da posição central, então inserir um número muito grande desloca o centro. Nesta questão, usamos a média para achar a soma das idades, a mediana para descobrir os dois valores centrais e a moda para garantir repetições — com isso montamos o rol e calculamos a nova mediana.

O que a questão dá

  • 6 primos, média = 25 anos

  • mediana = 24,5 anos

  • moda = 24 anos

  • com José, média = 26 anos

O que queremos: a idade de José e a nova mediana

Passo 1 — Calcular a soma das idades dos primos

A média é a soma dividida pela quantidade. Com a média dos 6 primos (25) e a quantidade (6), conseguimos a soma total — é o ponto de partida para descobrir a idade de José.

Por que esta fórmula: A definição de média: média = soma ÷ quantidade. Invertendo, soma = média × quantidade.

S=xˉ×nS = \bar{x} \times n

De onde vem cada valor: xˉ\bar{x} = enunciado: média = 25 · nn = enunciado: 6 primos

S=25×6=150 anosS = 25 \times 6 = \boxed{150\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e usar 25 como soma.

Passo 2 — Calcular a idade de José

Com José, o grupo tem 7 pessoas e a média passa a 26. A nova soma é a soma antiga mais a idade de José; isolando a idade dele, descobrimos o valor.

Por que esta fórmula: A média dos 7 é a nova soma dividida por 7. A nova soma é 150 + J, então montamos a equação e resolvemos para J.

26=150+J726 = \frac{150 + J}{7}

De onde vem cada valor: 2626 = enunciado: nova média · 150150 = passo 1 · 77 = enunciado: 6 primos + José · JJ = incógnita: idade de José

26=150+J726 = \frac{150 + J}{7}
J=32 anosJ = \boxed{32\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 26 × 7 = 182 e esquecer de subtrair 150.

Passo 3 — Descobrir os dois termos centrais originais

A mediana original é 24,5. Como são 6 números (par), a mediana é a média dos 3º e 4º termos ordenados. Isso fixa quais são esses termos.

Por que esta fórmula: Para quantidade par, mediana = (termo central inferior + termo central superior) ÷ 2. Se a mediana é 24,5, a soma dos dois centrais é 49, e os únicos inteiros consecutivos que somam 49 são 24 e 25.

24,5=a+b224{,}5 = \frac{a + b}{2}

De onde vem cada valor: 24,524{,}5 = enunciado: mediana · a,ba, b = 3º e 4º termos ordenados

24,5=24+25224{,}5 = \frac{24 + 25}{2}

24,524{,}5 = termos centrais: 24 e 25

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a mediana é um dos valores, e não a média deles.

Passo 4 — Montar o rol original com as repetições

A moda é 24, então 24 deve aparecer pelo menos duas vezes. Como os centrais são 24 e 25, o 24 já aparece uma vez; precisamos de outro 24 antes dele. Os demais valores são maiores ou iguais a 25.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma análise lógica. O rol ordenado tem 6 posições; os centrais (3º e 4º) são 24 e 25. Para a moda ser 24, deve haver outro 24, que só pode estar na 2ª posição (ou 1ª). Os valores restantes (5º e 6º) são ≥ 25.

rol: {x, 24, 24, 25, y, z} com x ≤ 24, y ≥ 25, z ≥ y

NÃO CAIA NESSA!

Colocar o segundo 24 depois do 25, o que quebraria a ordem.

Passo 5 — Inserir José e achar a nova mediana

José tem 32 anos, que é maior que todos os valores originais (pois y e z são ≥ 25, mas a soma total limita os valores; na prática 32 é o maior). Ao inserir 32, o rol passa a ter 7 números, e a mediana é o 4º termo.

Por que esta fórmula: Com 7 elementos, a mediana é o elemento da posição (7+1)/2 = 4. No novo rol ordenado, os três primeiros são x, 24, 24; o 4º é 25 (o antigo 4º termo).

novamediana=25nova mediana = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a mediana continua 24,5, mas com 7 elementos ela é um valor inteiro do rol.

Resposta: Idade de José: 32 anos; nova mediana: 25. Alternativa C.

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