Questão de Raciocínio Lógico — Sequências Lógicas de Números, Letras, Palavras e Figuras — FCC 2022

Sequência com padrão de triplas: adição, multiplicação e divisão

Gabarito: letra D. O 100º termo é o primeiro termo da 34ª tripla, dado por $9 \cdot 2^{33} - 6$, que corresponde exatamente à expressão da alternativa D.

A sequência dada pode ser agrupada em triplas:

• 1ª tripla: $(3, 6, 36)$ – nota-se que $3+3=6$ e $6 \times 6 = 36$.

• 2ª tripla: $(12, 15, 90)$ – $12+3=15$, $15 \times 6 = 90$.

• 3ª tripla: $(30, 33, ?)$ – $30+3=33$, $33 \times 6 = 198$? Mas a sequência fornecida vai até 33, e o próximo seria 198, mas não nos interessa.

Observa-se que o primeiro termo de cada tripla é obtido dividindo-se o último termo da tripla anterior por 3: $36/3=12$, $90/3=30$. Portanto, se denotarmos por $S_k$ o primeiro termo da $k$-ésima tripla, temos:

$S_1 = 3$ $S_{k+1} = 2 \cdot (S_k + 3)$

Resolvendo a recorrência: a solução geral é $S_k = C \cdot 2^{k-1} - 6$. Usando $S_1 = 3$, obtém-se $C = 9$. Logo, $S_k = 9 \cdot 2^{k-1} - 6$.

O 100º termo está na primeira posição da 34ª tripla (pois $33$ triplas completas somam $99$ termos). Portanto, $k = 34$ e $S_{34} = 9 \cdot 2^{33} - 6$.

As alternativas apresentam a expressão $3 \cdot 2^n + 6 \cdot (2^n - 1) = 9 \cdot 2^n - 6$. Igualando ao nosso resultado, temos $n = 33$, correspondente à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Expoente $24$: resultaria em $9 \cdot 2^{24} - 6$, que é o primeiro termo da 25ª tripla, muito anterior à posição 100.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Expoente $25$: corresponde ao 26º tripla, ainda muito antes do 100º termo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Expoente $32$: seria o primeiro termo da 33ª tripla, que é o 97º termo, não o 100º.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Expoente $33$: exatamente $9 \cdot 2^{33} - 6$, primeiro termo da 34ª tripla, posição 100.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Expoente $50$: resultaria em um termo muito além do 100º (primeiro termo da 51ª tripla, posição 151).