Raciocínio Lógico · FCC · 2022 | Questão sqc-fc068262

Divisão inversamente proporcional com tempos

Gabarito: letra C (R$ 3.045,00). O prêmio total de R$ 7.685,00 é dividido em partes inversamente proporcionais aos tempos dos três corredores. O terceiro colocado (maior tempo) recebeu R$ 2.030,00. Sendo o tempo do segundo colocado igual a $\frac{7}{6}$ do tempo do vencedor, encontramos que a razão entre o tempo do terceiro e o do primeiro é $\frac{3}{2}$ , resultando no valor do vencedor de R$ 3.045,00.

Resolução passo a passo

Sejam $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ os tempos do primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente. As partes $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ são inversamente proporcionais aos tempos, logo:

A_1 \cdot t_1 = A_2 \cdot t_2 = A_3 \cdot t_3 = k

Sabemos que $A_3 = 2030$ , então $k = 2030 \cdot t_3$ .

O tempo do segundo é $t_2 = \frac{7}{6} t_1$ . Substituindo:

A_2 = \frac{k}{t_2} = \frac{2030 \cdot t_3}{\frac{7}{6} t_1} = \frac{2030 \cdot 6}{7} \cdot \frac{t_3}{t_1} = 1740 \cdot \frac{t_3}{t_1}

A_1 = \frac{k}{t_1} = 2030 \cdot \frac{t_3}{t_1}

A soma total é:

A_1 + A_2 + A_3 = 2030 \cdot \frac{t_3}{t_1} + 1740 \cdot \frac{t_3}{t_1} + 2030 = 7685

(2030 + 1740) \frac{t_3}{t_1} = 7685 - 2030 = 5655

3770 \cdot \frac{t_3}{t_1} = 5655 \Rightarrow \frac{t_3}{t_1} = \frac{5655}{3770}

Simplificando a fração:

\frac{5655}{3770} = \frac{1131}{754} = \frac{87}{58} = \frac{3}{2}

Portanto $\frac{t_3}{t_1} = \frac{3}{2}$ , e então:

A_1 = 2030 \cdot \frac{3}{2} = 3045

O vencedor recebeu R$ 3.045,00.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 3.010,00. Este valor não satisfaz a proporção inversa; se o vencedor recebesse esse valor, a constante de proporcionalidade não se manteria.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 3.080,00. Idem; o cálculo correto de $A_1$ é 3045.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

R$ 3.045,00. Conforme demonstrado, é o valor exato calculado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 3.066,00. Valor não correspondente à proporção correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 3.031,00. Também não se alinha com a constante de proporcionalidade.

Gabarito: letra C