Questão de Raciocínio Lógico — Raciocínio Matemático — FCC 2022

Problema com Notas e Valores

Gabarito: letra D (13 notas de R$ 50,00). A chave é modelar o problema com uma equação linear: o total de R$ 2.700,00 é composto por notas de R$ 10, R$ 20 e R$ 50, sendo que a quantidade de notas de R$ 20 é 20 vezes a quantidade de notas de R$ 10. Resolvendo a equação, encontramos que a única solução inteira possível para o número de notas de R$ 50 é 13.

Seja (x) o número de notas de R$ 10, (20x) o número de notas de R$ 20 e (y) o número de notas de R$ 50. O valor total é:

[10x + 20 \cdot 20x + 50y = 2700 ] [10x + 400x + 50y = 2700 ] [410x + 50y = 2700 ]

Dividindo por 10:

[41x + 5y = 270 ]

Isolando (y):

[5y = 270 - 41x \Rightarrow y = \frac{270 - 41x}{5}]

Para que (y) seja inteiro, (270 - 41x) deve ser múltiplo de 5. Analisando módulo 5: (270 \equiv 0 \pmod{5}) e (41 \equiv 1 \pmod{5}), então (270 - 41x \equiv -x \pmod{5}). Assim, precisamos que (x \equiv 0 \pmod{5}). Além disso, (y > 0) implica (41x < 270 \Rightarrow x < \frac{270}{41} \approx 6,58). Os múltiplos de 5 no intervalo (0 < x < 6,58) são apenas (x = 5). (O problema menciona "um certo número" de notas de R$ 10, então consideramos que (x > 0).) Substituindo:

[y = \frac{270 - 41 \cdot 5}{5} = \frac{270 - 205}{5} = \frac{65}{5} = 13]

Portanto, Marcos recebe 13 notas de R$ 50,00.

Alternativa A — ❌ Incorreta (12)

Se (y = 12), então (41x = 270 - 5 \cdot 12 = 270 - 60 = 210 \Rightarrow x = \frac{210}{41}) que não é inteiro.

Alternativa B — ❌ Incorreta (11)

Se (y = 11), (41x = 270 - 55 = 215 \Rightarrow x = \frac{215}{41}) não inteiro.

Alternativa C — ❌ Incorreta (10)

Se (y = 10), (41x = 270 - 50 = 220 \Rightarrow x = \frac{220}{41}) não inteiro.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, (y = 13) é a única solução inteira positiva.

Alternativa E — ❌ Incorreta (14)

Se (y = 14), (41x = 270 - 70 = 200 \Rightarrow x = \frac{200}{41}) não inteiro.

Gabarito: letra D