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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FCC 2022

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fc068373
Banca
FCC
Órgão
TRT - 23ª REGIÃO (MT)
Ano
2022
Uma escola de ensino médio possui 30 alunos e 5 professores. A idade média dos alunos é de 16 anos e a dos professores é de 34 anos. Um professor acaba de ser contratado e a idade média dessas 36 pessoas passou a ser de 19 anos. A idade do novo professor é:
  1. A56 anos.
  2. B26 anos.
  3. C35 anos.
  4. D40 anos.
  5. E34 anos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 34 anos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 34 anos (alternativa E).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida de tendência central que resume um conjunto de valores em um único número: é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Ela indica, em termos práticos, o valor 'típico' do grupo, mas esconde a distribuição real — por isso, em problemas que envolvem acréscimo de um elemento, o caminho seguro é trabalhar com as somas totais, não com as médias diretamente.

A relação que governa é: soma = média × quantidade, ou seja, S = xˉ\bar{x} ⋅\cdot n. Se a média aumenta, a soma aumenta na mesma proporção; se o número de elementos cresce, a soma também cresce. Nesta questão, temos dois grupos (alunos e professores) com médias e quantidades diferentes, e depois um grupo único com nova média. A chave é calcular a soma total antes e depois da contratação, pois a diferença entre essas somas é exatamente a idade do novo professor.

A questão cobra exatamente essa propriedade: usar a média para reconstruir as somas e então comparar os totais. O erro comum é tentar 'misturar' as médias sem considerar os pesos (30 e 5), o que leva a um resultado errado.

O que a questão dá

  • 30 alunos

  • 5 professores

  • idade média dos alunos = 16 anos

  • idade média dos professores = 34 anos

  • novo professor contratado

  • média das 36 pessoas = 19 anos

O que queremos: a idade do novo professor

Passo 1 — Calcular a soma das idades dos alunos

Precisamos da soma total das idades de cada grupo para depois comparar com a soma final. A média de um grupo é a soma dividida pela quantidade, então a soma é a média vezes a quantidade.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: xˉ\bar{x} = Sn\frac{S}{n}, então isolamos S = xˉ\bar{x} ⋅\cdot n.

Salunos=xˉalunos⋅nalunosS_{alunos} = \bar{x}_{alunos} \cdot n_{alunos}

De onde vem cada valor: xˉalunos\bar{x}_{alunos} = enunciado: 16 anos · nalunosn_{alunos} = enunciado: 30 alunos

Salunos=16⋅30=480 anosS_{alunos} = 16 \cdot 30 = \boxed{480\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: 30 × 16 = 480, mas alguns podem calcular 30 + 16 = 46, o que não faz sentido.

Passo 2 — Calcular a soma das idades dos professores antigos

Assim como fizemos com os alunos, precisamos da soma das idades dos 5 professores para ter o total antes da contratação.

Por que esta fórmula: Mesma relação: soma = média × quantidade.

Sprof=xˉprof⋅nprofS_{prof} = \bar{x}_{prof} \cdot n_{prof}

De onde vem cada valor: xˉprof\bar{x}_{prof} = enunciado: 34 anos · nprofn_{prof} = enunciado: 5 professores

Sprof=34⋅5=170 anosS_{prof} = 34 \cdot 5 = \boxed{170\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 34 × 30 = 1020, confundindo o número de professores com o de alunos.

Passo 3 — Somar as idades de todos antes da contratação

Com as somas dos dois grupos, podemos obter o total de idades das 35 pessoas (30 alunos + 5 professores) antes da chegada do novo professor.

Por que esta fórmula: A soma total é a soma das partes.

Santes=Salunos+SprofS_{antes} = S_{alunos} + S_{prof}

De onde vem cada valor: SalunosS_{alunos} = passo 1: 480 anos · SprofS_{prof} = passo 2: 170 anos

Santes=480+170=650 anosS_{antes} = 480 + 170 = \boxed{650\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos grupos, usando apenas 480 ou 170.

Passo 4 — Calcular a soma total após a contratação

Depois da contratação, temos 36 pessoas com média 19. Para saber a soma total das idades agora, usamos a mesma relação: soma = média × quantidade.

Por que esta fórmula: A média final é dada, então a soma final é a média final vezes o novo total de pessoas.

Sdepois=xˉdepois⋅ndepoisS_{depois} = \bar{x}_{depois} \cdot n_{depois}

De onde vem cada valor: xˉdepois\bar{x}_{depois} = enunciado: 19 anos · ndepoisn_{depois} = enunciado: 36 pessoas (30 alunos + 5 professores + 1 novo)

Sdepois=19⋅36=684 anosS_{depois} = 19 \cdot 36 = \boxed{684\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 35 em vez de 36, esquecendo de incluir o novo professor.

Passo 5 — Subtrair para achar a idade do novo professor

A diferença entre a soma depois e a soma antes é exatamente a idade do novo professor, pois ele é o único elemento acrescentado.

Por que esta fórmula: A soma depois é a soma antes mais a idade do novo professor: S_{depois} = S_{antes} + x, então x = S_{depois} - S_{antes}.

x=Sdepois−Santesx = S_{depois} - S_{antes}

De onde vem cada valor: SdepoisS_{depois} = passo 4: 684 anos · SantesS_{antes} = passo 3: 650 anos

x=684−650=34 anosx = 684 - 650 = \boxed{34\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (650 - 684 = -34) ou usar a média dos professores antigos (34) como resposta sem fazer a conta.

Resposta: 34 anos (alternativa E)

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