Questão de Matemática — Álgebra Linear — FCC 2022

Problema de proporções entre viagens

Gabarito: letra B (6). Se Alberto faz $x$ viagens, Bruno faz $2x$ (o dobro de Alberto) e Carlos faz $4x$ (pois Bruno é metade de Carlos, logo Carlos é o dobro de Bruno). A soma é $x + 2x + 4x = 7x = 14$, então $x = 2$? Não — cuidado: a média mensal conjunta é 14, mas o enunciado diz que eles realizam juntos, em média, 14 viagens por mês, ou seja, a soma das viagens dos três é 14. Assim, $7x = 14 \Rightarrow x = 2$. Mas o gabarito é 6? Vamos reler: "Alberto, Bruno e Carlos são motoristas de caminhões e realizam juntos, em média, 14 viagens por mês. Bruno faz o dobro do número de viagens que Alberto faz e metade do número de viagens que Carlos faz." Se Bruno = 2·Alberto e Bruno = Carlos/2, então Carlos = 2·Bruno = 4·Alberto. Soma = Alberto + 2·Alberto + 4·Alberto = 7·Alberto = 14 → Alberto = 2. Mas as alternativas não têm 2. Há um erro de interpretação? O gabarito oficial é B (6). Vamos verificar se a média é 14 cada um? Não, "juntos, em média, 14 viagens por mês" significa que a soma das médias individuais é 14. Então Alberto = 2, Bruno = 4, Carlos = 8, soma 14. Mas 2 não está nas opções. A banca provavelmente considerou que a média é 14 por pessoa? Não, o texto é claro. Talvez a banca tenha usado a média como total? Se a soma é 14, Alberto = 2. Mas o gabarito é 6. Vamos testar: se Alberto = 6, Bruno = 12, Carlos = 24, soma = 42, média = 14 (42/3 = 14). Ah! A pegadinha: "realizam juntos, em média, 14 viagens por mês" pode ser interpretado como a média aritmética das viagens dos três é 14, ou seja, (A+B+C)/3 = 14 → A+B+C = 42. Com B = 2A e C = 2B = 4A, temos A + 2A + 4A = 7A = 42 → A = 6. Essa é a leitura que leva ao gabarito B. A expressão "juntos, em média" é ambígua, mas a banca adotou a média aritmética das quantidades individuais. Portanto, a resposta correta é 6.

Vamos formalizar: sejam $A$, $B$ e $C$ as quantidades mensais de viagens de Alberto, Bruno e Carlos, respectivamente. O enunciado afirma que eles realizam juntos, em média, 14 viagens por mês. A interpretação adotada pela banca é que a média aritmética das três quantidades é 14:

As relações são:

• Bruno faz o dobro de Alberto: $B = 2A$.

• Bruno faz metade de Carlos: $B = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 2B = 4A$.

Substituindo na soma:

Portanto, Alberto realiza 6 viagens por mês.

Alternativa A — ❌ Incorreta

8 seria o valor de Carlos se Alberto fizesse 2 (pois $C = 4A = 8$), mas não é o que se pede. Também não satisfaz a média: se $A = 8$, então $B = 16$, $C = 32$, soma = 56, média ≈ 18,67 ≠ 14.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $A = 6$ satisfaz as relações $B = 2A = 12$ e $C = 2B = 24$, e a média $(6+12+24)/3 = 42/3 = 14$. É a única alternativa que fecha o sistema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

7 é um distrator comum: se o candidato dividir 14 por 2 (pensando em "dobro") ou usar a soma como 14 sem a média, pode chegar a 7. Mas com $A = 7$, $B = 14$, $C = 28$, a média seria $(7+14+28)/3 = 49/3 \approx 16,33$, não 14.

Alternativa D — ❌ Incorreta

4 seria o valor de Bruno se Alberto fizesse 2 (pois $B = 2A = 4$). Não é a quantidade de Alberto e não satisfaz a média: com $A = 4$, $B = 8$, $C = 16$, média = 28/3 ≈ 9,33.

Alternativa E — ❌ Incorreta

14 é o valor da média (ou da soma, na interpretação equivocada). Se $A = 14$, então $B = 28$, $C = 56$, média = 98/3 ≈ 32,67, muito acima de 14.

Gabarito: letra B