Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FCC 2023

Teorema de Bayes: conceitos e aplicação

Gabarito: letra A — estão corretos apenas os itens I e III. O Teorema de Bayes pertence ao campo da probabilidade estatística e trata da probabilidade condicional, mas não se restringe a eventos independentes (item II falso), sua fórmula envolve a probabilidade da interseção dividida pela probabilidade do evento condicionante (item IV errado), e $P(A|B)$ não é sempre igual a $P(B|A)$ (item V falso).

O Teorema de Bayes é um dos pilares da teoria das probabilidades. Ele permite revisar a probabilidade de uma hipótese quando se obtém nova informação (evidência). Formalmente, para eventos $A$ e $B$ com $P(B) > 0$:

Essa fórmula decorre diretamente da definição de probabilidade condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Isolando $P(A \cap B)$ nas duas expressões e igualando, chega-se ao teorema.

A pegadinha central da questão está nos itens IV e V: a banca troca os termos da fórmula e afirma uma igualdade que só vale em casos especiais. O candidato que decora a fórmula sem entender a lógica cai direto.

Item I — ✅ Correto

O Teorema de Bayes é um resultado da teoria das probabilidades, que é um ramo da Estatística. Ele é estudado no campo da probabilidade estatística, sim. Não há controvérsia aqui.

Item II — ❌ Incorreto

Afirma que o teorema somente deve ser aplicado quando o cálculo da probabilidade de um evento independe da ocorrência de outros eventos já observada ou estimada. Isso é o oposto do que o teorema faz: ele é usado justamente quando há dependência — quando queremos atualizar a probabilidade de uma causa (evento $A$) após observar um efeito (evento $B$). O teorema é a ferramenta para probabilidade condicional, que pressupõe que a ocorrência de um evento afeta a probabilidade do outro. A palavra "somente" já denuncia o erro: o teorema não se limita a eventos independentes; ele é especialmente útil quando os eventos são dependentes.

Item III — ✅ Correto

O Teorema de Bayes trata exatamente da probabilidade condicional: ele calcula $P(A|B)$ a partir de $P(B|A)$, $P(A)$ e $P(B)$. É a forma de "inverter" a condicional. Portanto, a afirmação está correta.

Item IV — ❌ Incorreto

A fórmula apresentada está errada. O item diz que $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$, mas a definição correta de probabilidade condicional é:

O denominador deve ser a probabilidade do evento condicionante ($B$), não do evento cuja probabilidade se quer ($A$). A fórmula do item inverte os papéis. Além disso, o Teorema de Bayes não se resume a essa definição — ele vai além, relacionando $P(A|B)$ com $P(B|A)$.

Item V — ❌ Incorreto

Afirma que $P(A/B)$ é sempre igual a $P(B/A)$. Isso é falso. Em geral, $P(A|B) \neq P(B|A)$. A igualdade só ocorre em casos particulares, por exemplo, quando $P(A) = P(B)$ (desde que as probabilidades sejam não nulas). A relação correta entre as duas é dada justamente pelo Teorema de Bayes:

Portanto, a igualdade não é uma propriedade geral.

Conclusão: corretos apenas os itens I e III → gabarito: letra A.