Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2023

Regressão Linear Simples: premissas do erro aleatório

Gabarito: letra D. No modelo de regressão linear simples, uma das premissas fundamentais é que o erro aleatório tem média (esperança) zero, ou seja, $E(\varepsilon) = 0$. Isso garante que os erros positivos e negativos se compensam em média, permitindo que a reta ajustada represente adequadamente a relação entre as variáveis. As demais alternativas contrariam as premissas do modelo: os erros devem ser independentes (não correlacionados), homocedásticos (variância constante) e o modelo simples envolve apenas uma variável independente.

O modelo de regressão linear simples é a forma mais elementar da análise de regressão. Ele busca explicar o comportamento de uma variável dependente $Y$ a partir de uma única variável independente $X$, ajustando uma reta que minimize a diferença entre os valores previstos e os observados. A equação é:

Onde:

• $Y$: variável dependente (resposta);

• $X$: variável independente (preditora);

• $\beta_0$: intercepto, valor de $Y$ quando $X = 0$;

• $\beta_1$: coeficiente angular, variação média de $Y$ por unidade de $X$;

• $\varepsilon$: erro aleatório, que captura a variabilidade não explicada pelo modelo.

As premissas clássicas do modelo de regressão linear (método dos mínimos quadrados ordinários) são:

1. Linearidade: a relação entre $Y$ e $X$ é linear;

2. Independência dos erros: os erros de diferentes observações não são correlacionados;

3. Homocedasticidade: a variância dos erros é constante ($Var(\varepsilon) = \sigma^2$);

4. Média zero dos erros: $E(\varepsilon) = 0$;

5. Normalidade (para inferência): os erros seguem distribuição normal.

A alternativa D é a única que reflete corretamente uma dessas premissas. As demais invertem ou distorcem os conceitos, como veremos a seguir.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os erros associados a diferentes observações devem estar correlacionados. Isso é exatamente o oposto da premissa de independência dos erros: o modelo exige que os erros sejam não correlacionados entre si. A correlação entre erros indicaria violação do modelo, como ocorre em séries temporais com autocorrelação. A banca troca o requisito de independência por correlação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a equação resulta em uma parábola com concavidade voltada para o eixo das abscissas. Isso é um absurdo geométrico: a regressão linear simples ajusta uma reta, não uma parábola. A equação $y = \beta_0 + \beta_1 x$ é uma função linear de primeiro grau, cujo gráfico é uma linha reta. A concavidade é um conceito de funções quadráticas, que não se aplica aqui.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os erros aleatórios devem apresentar heterocedasticidade. A premissa correta é a homocedasticidade, ou seja, a variância dos erros deve ser constante ($Var(\varepsilon) = \sigma^2$). Heterocedasticidade é a violação dessa premissa, quando a variância dos erros varia com o nível de $X$. A banca inverte o termo técnico: troca homocedasticidade por heterocedasticidade.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que os erros aleatórios têm média zero. Essa é uma premissa central do modelo de regressão linear: $E(\varepsilon) = 0$. Isso significa que, em média, os erros positivos e negativos se compensam, e a reta de regressão passa pelo centro da nuvem de pontos. Sem essa premissa, o intercepto $\beta_0$ não seria identificável corretamente. O material de apoio confirma: "a esperança (ou média) dos erros (ou resíduos) é nula".

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a equação deve relacionar uma variável dependente com inúmeras variáveis independentes. Isso descreve a regressão linear múltipla, não a simples. O modelo apresentado no enunciado tem apenas uma variável independente $x$, caracterizando a regressão linear simples. A banca confunde os dois tipos de modelo.

Gabarito: letra D