Questão de Matemática — Álgebra Linear — FCC 2023

Problema de equação do 1º grau: divisão de conta

Gabarito: letra D (11 amigos). Seja $n$ o número de amigos. Na primeira tentativa, cada um contribui com R$ 15,00, totalizando $15n$, mas faltam R$ 35,00 para o valor do jantar. Na segunda, cada um contribui com mais R$ 5,00 (total de R$ 20,00 por pessoa), e o total arrecadado é suficiente para pagar o jantar e ainda sobrar 10% do valor do jantar para a gorjeta. Isso gera a equação $20n = 1{,}1 \cdot (15n + 35)$, cuja solução é $n = 11$. A resolução completa está abaixo.

Vamos modelar o problema passo a passo. O valor do jantar é o mesmo nas duas situações. Na primeira, o total arrecadado ($15n$) fica R$ 35,00 aquém do valor do jantar, então:

Na segunda, cada um contribui com R$ 20,00 (15 + 5), totalizando $20n$. Esse valor cobre o jantar e ainda sobra 10% do jantar para a gorjeta. Ou seja, o total arrecadado é igual a 110% do valor do jantar:

Agora resolvemos:

Portanto, o número de amigos é 11.

A pegadinha clássica aqui é esquecer de incluir a gorjeta de 10% no segundo total, montando $20n = 15n + 35$ e obtendo $n = 7$ (que nem está nas alternativas). Outro erro comum é interpretar a sobra como 10% do total arrecadado, em vez de 10% do valor do jantar. A leitura correta é: o que sobra (após pagar o jantar) é 10% do jantar, então o arrecadado é 110% do jantar.

Alternativa A — ❌ Incorreta

9 amigos não satisfaz a equação. Com $n = 9$, o jantar seria $15 \cdot 9 + 35 = 170$ reais, e o segundo total seria $20 \cdot 9 = 180$ reais. A sobra seria $180 - 170 = 10$ reais, que corresponde a $10/170 \approx 5{,}88\%$ do jantar — não os 10% exigidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

10 amigos também não fecha. Jantar: $15 \cdot 10 + 35 = 185$ reais. Segundo total: $20 \cdot 10 = 200$ reais. Sobra: $200 - 185 = 15$ reais, que é $15/185 \approx 8{,}11\%$ do jantar — abaixo de 10%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12 amigos ultrapassa o necessário. Jantar: $15 \cdot 12 + 35 = 215$ reais. Segundo total: $20 \cdot 12 = 240$ reais. Sobra: $240 - 215 = 25$ reais, que é $25/215 \approx 11{,}63\%$ do jantar — acima de 10%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

11 amigos é a solução exata. Jantar: $15 \cdot 11 + 35 = 200$ reais. Segundo total: $20 \cdot 11 = 220$ reais. Sobra: $220 - 200 = 20$ reais, que é exatamente 10% de 200. Confere com a equação $20n = 1{,}1(15n + 35)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

8 amigos fica muito abaixo. Jantar: $15 \cdot 8 + 35 = 155$ reais. Segundo total: $20 \cdot 8 = 160$ reais. Sobra: $160 - 155 = 5$ reais, que é $5/155 \approx 3{,}23\%$ do jantar — bem menos que 10%.

Gabarito: letra D