Matemática · FCC · 2023 | Questão sqc-fc068648

Média Aritmética: encontrando o valor que mantém a média

Gabarito: letra C (1h24min). Para que a média dos cinco trabalhadores (quatro existentes + o novo) seja 1h35min, o tempo do novo trabalhador deve ser 1h24min. A resolução usa a definição de média aritmética: a soma de todos os tempos dividida pelo número de trabalhadores deve resultar em 1h35min. Isolando o tempo desconhecido, encontramos o valor que satisfaz a condição.

A média aritmética é a medida de tendência central mais cobrada em concursos. Ela é calculada somando-se todos os valores do conjunto e dividindo-se pelo número de elementos. A fórmula é:

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

Nesta questão, temos quatro tempos conhecidos e um quinto tempo desconhecido (o do novo trabalhador). A média dos cinco deve ser 1h35min. O caminho mais eficiente é trabalhar com os tempos em minutos, para evitar erros com a base sexagesimal (1 hora = 60 minutos).

Convertendo os tempos:

1h35min = 60 + 35 = 95 min
1h40min = 60 + 40 = 100 min
1h33min = 60 + 33 = 93 min
1h43min = 60 + 43 = 103 min
Média desejada = 1h35min = 95 min

A soma dos quatro tempos conhecidos é: 95 + 100 + 93 + 103 = 391 min.

Seja $x$ o tempo do novo trabalhador. A média dos cinco é:

\frac{391 + x}{5} = 95

Multiplicando ambos os lados por 5:

391 + x = 475

x = 475 - 391 = 84 \text{ min}

Convertendo 84 minutos de volta para horas e minutos: 84 min = 1h24min. Portanto, o novo trabalhador deve realizar a tarefa em 1h24min para que a média do grupo seja exatamente 1h35min.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a conversão de unidades. O candidato apressado pode somar os tempos como se fossem números decimais (1,35 + 1,40 + 1,33 + 1,43), o que levaria a um resultado errado. A pegadinha está em não converter corretamente horas e minutos para uma única unidade (minutos) antes de calcular a média. Com a conversão correta, o cálculo fica limpo e direto.

1Converter tudo para minutos
2Somar os 4 tempos (391)
3Montar equação (391+x)/5=95
4Isolar x → 84 min
5Converter para 1h24min

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Alternativa A — ❌ Incorreta

1h22min (82 min). Se o novo trabalhador fizesse em 82 min, a soma seria 391 + 82 = 473 min, e a média seria 473/5 = 94,6 min = 1h34min36s, que é menor que 1h35min. Este valor não satisfaz a condição do enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1h34min (94 min). Com esse tempo, a soma seria 391 + 94 = 485 min, e a média seria 485/5 = 97 min = 1h37min, que é maior que 1h35min. O valor está muito próximo do correto, mas não é o que mantém a média pedida.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

1h24min (84 min). Como calculado, 391 + 84 = 475 min, e 475/5 = 95 min = 1h35min. Este é exatamente o tempo que faz a média dos cinco trabalhadores ser 1h35min, conforme o enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1h20min (80 min). Com esse tempo, a soma seria 391 + 80 = 471 min, e a média seria 471/5 = 94,2 min = 1h34min12s, que é menor que 1h35min. O valor é menor que o necessário para atingir a média.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1h30min (90 min). Com esse tempo, a soma seria 391 + 90 = 481 min, e a média seria 481/5 = 96,2 min = 1h36min12s, que é maior que 1h35min. Este valor também não atende à condição.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de média com unidades de tempo, converta tudo para a menor unidade (minutos) antes de qualquer operação. Isso evita erros de aritmética com horas e minutos. Depois de encontrar o resultado em minutos, converta de volta para horas e minutos. Esse método é infalível e rápido.

Gabarito: letra C