Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30 litros (alternativa D).

A ideia por trás

Este é um problema de raciocínio reverso: em vez de montar equações, acompanhamos as transferências de trás para frente. A ideia central é que cada transferência dobra a quantidade do recipiente que recebe, então, para voltar no tempo, dividimos por 2 a quantidade do recipiente que recebeu, na ordem inversa. No final, os dois recipientes têm a mesma quantidade, 24 litros cada, pois o total é 48 litros. A última transferência foi de B para A a mesma quantidade que havia em A, então antes dela A tinha metade de 24, ou seja, 12 litros, e B tinha 24 + 12 = 36 litros. A primeira transferência foi de A para B a mesma quantidade que havia em B, então antes dela B tinha metade de 36, ou seja, 18 litros, e A tinha 12 + 18 = 30 litros. Portanto, a quantidade inicial de A é 30 litros.

O que a questão dá

• total de suco = 48 L

• após as duas transferências, A = B

O que queremos: a quantidade inicial de suco no recipiente A

Passo 1 — Descobrir a quantidade final em cada recipiente

O problema diz que após as duas transferências os recipientes ficaram com a mesma quantidade. Como o total é 48 litros, cada um deve ter metade, ou seja, 24 litros. Esse é o ponto de partida para voltar no tempo.

Por que esta fórmula: Para dividir o total igualmente entre dois recipientes, usamos a divisão: total ÷ 2.

De onde vem cada valor: $48$ = enunciado: total de suco = 48 L · $2$ = enunciado: dois recipientes

Passo 2 — Voltar a última transferência (B para A)

A última operação foi transferir de B para A a mesma quantidade que havia em A. Isso significa que, antes dessa transferência, A tinha metade do que ficou no final, pois recebeu uma quantidade igual à que já tinha, dobrando. Então, para voltar, dividimos a quantidade final de A por 2.

Por que esta fórmula: Se A tinha x e recebeu x, ficou com 2x. Para achar x, dividimos o final por 2.

De onde vem cada valor: $A_{final}$ = passo 1: 24 L

Passo 3 — Calcular a quantidade de B antes da última transferência

Sabemos que B transferiu para A uma quantidade igual à que A tinha antes (12 L). Então, antes da transferência, B tinha a quantidade final (24 L) mais os 12 L que saíram. Somamos para recuperar o estado anterior.

Por que esta fórmula: Se B final = B antes - 12, então B antes = B final + 12.

De onde vem cada valor: $B_{final}$ = passo 1: 24 L · $12$ = passo 2: quantidade transferida de B para A

Passo 4 — Voltar a primeira transferência (A para B)

A primeira operação foi transferir de A para B a mesma quantidade que havia em B. Isso significa que, antes dessa transferência, B tinha metade do que ficou depois (36 L), pois recebeu uma quantidade igual à que já tinha, dobrando. Então, dividimos a quantidade de B após a primeira transferência por 2.

Por que esta fórmula: Se B tinha y e recebeu y, ficou com 2y. Para achar y, dividimos o valor por 2.

De onde vem cada valor: $B_{antes}$ = passo 3: 36 L

Passo 5 — Calcular a quantidade inicial de A

Agora temos o estado antes da primeira transferência: A tinha 12 L (do passo 2) e B tinha 18 L (do passo 4). Mas na primeira transferência, A transferiu para B uma quantidade igual à que B tinha (18 L). Então, antes dessa transferência, A tinha os 12 L que ficaram mais os 18 L que saíram. Somamos para achar a quantidade inicial de A.

Por que esta fórmula: Se A final (antes da 1ª transf.) = A inicial - 18, então A inicial = A final + 18.

De onde vem cada valor: $A_{antes}$ = passo 2: 12 L · $18$ = passo 4: quantidade transferida de A para B

Resposta: 30 litros (alternativa D)