Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2023

Problema de distribuição de cartões e produtos

Gabarito: letra A (15). Nílton recebeu 3 cartões cujo produto é 0, e como os cartões são numerados de 0 a 9, um deles é o cartão 0. Os outros dois cartões de Nílton devem ser escolhidos entre os números restantes, de modo que os produtos de Otávio (72) e Paulo (90) sejam formados com os cartões que sobraram. A única combinação possível é Nílton com {0, 7, 8}, cuja soma é 15.

Vamos entender o problema passo a passo. Temos os números de 0 a 9, totalizando 10 cartões. Otávio recebeu 4 cartões e seu produto é 72; Paulo recebeu 3 cartões e seu produto é 90; Nílton recebeu 3 cartões e seu produto é 0. Como o produto de Nílton é 0, ele obrigatoriamente tem o cartão 0. Os demais cartões de Nílton não podem ser 0 (já usado) e devem ser números que, multiplicados, deem um valor que não interfira nos produtos dos outros — na verdade, o que importa é que os cartões restantes, após separarmos os de Nílton, formem os produtos 72 e 90.

Vamos fatorar os produtos:

• 72 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 2 × 4 × 9 = 3 × 4 × 6 = 2 × 6 × 6 (não pode repetir) = 1 × 8 × 9 = 2 × 3 × 12 (não tem 12) etc. As combinações com números de 0 a 9, sem repetição, que dão 72 são: {8, 9}, {2, 4, 9}, {3, 4, 6}, {1, 8, 9}, {2, 3, 12} (inválido), {1, 4, 18} (inválido), {1, 6, 12} (inválido), {2, 6, 6} (repete), {3, 3, 8} (repete), {1, 2, 36} (inválido), {1, 3, 24} (inválido), {1, 9, 8} (mesmo que {1,8,9}), {2, 2, 18} (repete), {4, 18} (inválido), {6, 12} (inválido), {3, 24} (inválido), {2, 36} (inválido), {1, 72} (inválido).

• 90 = 2 × 3² × 5 = 9 × 10 (não tem 10) = 2 × 5 × 9 = 3 × 5 × 6 = 1 × 9 × 10 (inválido) = 1 × 2 × 45 (inválido) = 1 × 3 × 30 (inválido) = 1 × 5 × 18 (inválido) = 2 × 3 × 15 (inválido) = 5 × 18 (inválido) = 3 × 30 (inválido) = 2 × 45 (inválido) = 1 × 90 (inválido). As combinações válidas com números de 0 a 9 são: {2, 5, 9}, {3, 5, 6}, {1, 9, 10} (inválido), {1, 5, 18} (inválido), {1, 2, 45} (inválido), {1, 3, 30} (inválido), {5, 18} (inválido), {9, 10} (inválido), {2, 45} (inválido), {3, 30} (inválido), {1, 90} (inválido).

Como Otávio tem 4 cartões, ele pode ter combinações de 4 números cujo produto é 72. Vamos listar as possibilidades de 4 números distintos de 0 a 9 (sem o 0, pois se tivesse 0 o produto seria 0) que multiplicam para 72:

• {1, 2, 4, 9} → 1×2×4×9 = 72

• {1, 3, 4, 6} → 1×3×4×6 = 72

• {1, 2, 3, 12} → inválido (12 não existe)

• {1, 2, 6, 6} → repete

• {1, 1, 8, 9} → repete

• {2, 3, 4, 3} → repete

• {2, 2, 3, 6} → repete

• {1, 1, 4, 18} → inválido

• {1, 1, 3, 24} → inválido

• {1, 1, 2, 36} → inválido

• {1, 1, 1, 72} → inválido

• {1, 2, 2, 18} → inválido

• {1, 3, 3, 8} → repete

• {1, 4, 3, 6} → mesmo que {1,3,4,6}

• {2, 2, 2, 9} → repete

• {2, 2, 3, 6} → repete

• {2, 3, 3, 4} → repete

• {3, 3, 4, 2} → repete

• {1, 8, 9, 1} → repete

• {2, 4, 9, 1} → mesmo que {1,2,4,9}

• {3, 4, 6, 1} → mesmo que {1,3,4,6}

• {1, 2, 4, 9} e {1, 3, 4, 6} são as únicas com 4 números distintos.

Agora, Paulo tem 3 cartões com produto 90. As combinações de 3 números distintos (sem 0) que dão 90 são:

• {2, 5, 9} → 2×5×9 = 90

• {3, 5, 6} → 3×5×6 = 90

• {1, 9, 10} → inválido

• {1, 5, 18} → inválido

• {1, 2, 45} → inválido

• {1, 3, 30} → inválido

• {5, 18} → inválido (só 2 números)

• {9, 10} → inválido

• {2, 45} → inválido

• {3, 30} → inválido

• {1, 90} → inválido

Então Paulo só pode ter {2, 5, 9} ou {3, 5, 6}.

Agora vamos testar as combinações, lembrando que os cartões são únicos (0 a 9, sem repetição) e que Nílton tem o 0.

Caso 1: Otávio = {1, 2, 4, 9}. Então os números usados por Otávio são 1, 2, 4, 9. Paulo precisa de {2, 5, 9} ou {3, 5, 6}. Mas 2 e 9 já estão com Otávio, então Paulo não pode ter {2, 5, 9}. Se Paulo tiver {3, 5, 6}, os números 3, 5, 6 não conflitam com os de Otávio (1, 2, 4, 9). Então os cartões usados até agora: Otávio {1,2,4,9}, Paulo {3,5,6}. Sobram para Nílton: {0, 7, 8} (pois os números de 0 a 9 são 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; usados: 1,2,3,4,5,6,9; sobram 0,7,8). Produto de Nílton: 0×7×8 = 0 ✓. Soma: 0+7+8 = 15.

Caso 2: Otávio = {1, 3, 4, 6}. Então usados: 1,3,4,6. Paulo precisa de {2,5,9} ou {3,5,6}. Mas 3 e 6 já estão com Otávio, então Paulo não pode ter {3,5,6}. Se Paulo tiver {2,5,9}, os números 2,5,9 não conflitam com os de Otávio (1,3,4,6). Então usados: Otávio {1,3,4,6}, Paulo {2,5,9}. Sobram para Nílton: {0, 7, 8} (usados: 1,2,3,4,5,6,9; sobram 0,7,8). Produto: 0×7×8 = 0 ✓. Soma: 15.

Nos dois casos, a soma dos cartões de Nílton é 15. Portanto, a resposta é a letra A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma é 15, como demonstrado: Nílton recebeu os cartões 0, 7 e 8, cuja soma é 0+7+8 = 15. Essa é a única configuração possível que respeita os produtos de Otávio (72) e Paulo (90) com cartões distintos de 0 a 9.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 14 não corresponde a nenhuma combinação válida. Se Nílton tivesse, por exemplo, {0, 5, 9}, a soma seria 14, mas 5 e 9 precisariam estar com Paulo (para formar 90) ou com Otávio, o que não é possível sem conflitar com os produtos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 16 também não é possível. Uma tentativa seria {0, 7, 9}, mas o 9 já estaria comprometido com Otávio ou Paulo. A única combinação que sobra para Nílton é {0, 7, 8}.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 17 não aparece em nenhuma solução. Os cartões restantes após a distribuição de Otávio e Paulo são sempre 0, 7 e 8, cuja soma é 15, não 17.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18 também é inválido. Não há como obter soma 18 com três cartões distintos de 0 a 9 que respeitem os produtos dados, pois os cartões 7 e 8 são os únicos que sobram junto com o 0.

Gabarito: letra A