Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FCC 2023

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 120 jabuticabas (alternativa E).

A ideia por trás

Este problema trata de transferências de quantidades entre pessoas, onde o total permanece constante. A estratégia é trabalhar de trás para frente: definir a quantidade final comum como uma incógnita e reconstruir as quantidades iniciais. Como ninguém come nem descarta jabuticabas, a soma das quantidades finais é igual à quantidade inicial do saco. A condição de igualdade final permite montar uma equação do 1º grau e descobrir o valor inicial.

O que a questão dá

• Ana dá a Beth três quartos das jabuticabas

• Beth dá a Carla a metade de suas jabuticabas mais 5

• No final, as três ficam com a mesma quantidade

O que queremos: o número de jabuticabas que havia no saco

Passo 1 — Definir a quantidade inicial como x

Precisamos de uma incógnita para representar o total de jabuticabas no saco, pois é isso que queremos descobrir. Chamar de x permite montar equações com as frações dadas.

Passo 2 — Calcular quanto Ana e Beth ficam após a primeira doação

Ana dá três quartos do total para Beth, então precisamos saber quanto cada uma fica para acompanhar as próximas transferências.

Por que esta fórmula: Ana fica com um quarto do total, pois deu três quartos. Beth fica com três quartos do total.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $A_1$ = quantidade de Ana após a primeira doação · $B_1$ = quantidade de Beth após a primeira doação

Passo 3 — Calcular quanto Beth dá a Carla

Beth dá a Carla a metade de suas jabuticabas mais 5. Precisamos dessa quantidade para saber quanto Carla recebe e quanto Beth fica.

Por que esta fórmula: A metade de Beth é (1/2) * (3x/4) = 3x/8, e ainda soma 5.

De onde vem cada valor: $\frac{3x}{4}$ = passo 2: quantidade de Beth · $5$ = enunciado: mais 5

Passo 4 — Calcular quanto Beth fica após dar a Carla

Beth tinha 3x/4 e deu D, então precisamos saber quanto ela fica para comparar com Carla depois.

Por que esta fórmula: Subtrai-se a quantidade doada da quantidade que Beth tinha.

De onde vem cada valor: $\frac{3x}{4}$ = passo 2: quantidade de Beth · $\frac{3x}{8} + 5$ = passo 3: quantidade doada

Passo 5 — Perceber que a igualdade final é após Carla doar

Carla percebe que, dando algumas para Ana, as três ficam iguais. Isso significa que a igualdade ocorre depois da doação de Carla, não antes. Se fosse antes, Beth e Carla já seriam iguais, mas suas quantidades são diferentes (B_2 = 3x/8 - 5 e C = 3x/8 + 5).

Passo 6 — Definir a quantidade final comum como y

Como no final as três têm a mesma quantidade, chamamos de y. O total é x, então 3y = x, logo y = x/3.

Por que esta fórmula: A soma das três quantidades finais é o total, e como são iguais, cada uma é um terço do total.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $y$ = quantidade final de cada uma

Passo 7 — Relacionar a quantidade de Ana antes e depois da doação final

Ana não recebe nem dá nada entre o início e a doação final, então sua quantidade antes da doação final é x/4. Depois da doação, ela tem y = x/3. A diferença é o que Carla deu a ela.

Por que esta fórmula: Se Carla deu c para Ana, então Ana tinha y - c antes, e isso é igual a x/4.

De onde vem cada valor: $\frac{x}{3}$ = passo 6: quantidade final de Ana · $c$ = quantidade que Carla dá a Ana · $\frac{x}{4}$ = passo 2: quantidade de Ana antes da doação final

Passo 8 — Resolver a equação para x

Temos uma equação com x, que é o que queremos descobrir. Isolamos x para encontrar o valor.

Por que esta fórmula: A equação vem da relação entre a quantidade de Carla antes e depois da doação final. Carla recebeu 3x/8 + 5 de Beth, e depois de doar c para Ana, fica com x/3. Então: 3x/8 + 5 - c = x/3. Substituindo c = x/3 - x/4, obtemos a equação.

De onde vem cada valor: $\frac{5x}{12}$ = quantidade de Carla antes da doação final (x/3 + c, com c = x/12) · $\frac{3x}{8} + 5$ = passo 3: quantidade que Carla recebeu de Beth

Resposta: 120 jabuticabas (alternativa E)