Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — FCC 2023

Permutação Caótica (Desarranjo) – Troca de livros entre amigos

Gabarito: letra C – Existem exatamente 2 maneiras de realizar a troca de modo que ninguém fique com seu próprio livro e nem repasse o recebido (o que equivale a uma permutação em que nenhum elemento permanece em sua posição original, ou seja, um desarranjo de 3 elementos).

Explicação

O problema clássico de permutação caótica (ou desarranjo) de $n$ objetos consiste em contar as permutações em que nenhum objeto ocupa sua posição inicial. Para $n = 3$, as únicas permutações que satisfazem são os dois ciclos de comprimento 3:

• Alberto dá seu livro a Bruno, Bruno dá seu livro a Carlos, Carlos dá seu livro a Alberto.

• Alberto dá seu livro a Carlos, Carlos dá seu livro a Bruno, Bruno dá seu livro a Alberto.

Formalmente, o número de desarranjos de $n$ é dado por $!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$. Para $n=3$:

Portanto, a resposta correta é 2.

Análise das alternativas

• Alternativa A (5): Número muito acima do possível para 3 elementos.

• Alternativa B (4): Também excede o total de permutações possíveis (6) e não corresponde ao desarranjo.

• Alternativa C (2) – ✅ Correta: Conforme demonstrado.

• Alternativa D (3): Aproxima-se, mas o número de desarranjos para 3 é 2, não 3.

• Alternativa E (1): Subestima o total; há duas maneiras.

Gabarito: letra C (2 maneiras).