Matemática · FCC · 2023 | Questão sqc-fc069869

Teoria das Filas: modelo M/M/1 com capacidade finita

Gabarito: letra C (17/27). A repartição é um sistema de filas M/M/1 com capacidade total de 3 clientes (1 no guichê + 2 na sala de espera). A probabilidade de o sistema estar vazio é $P_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}$ e a probabilidade de uma pessoa chegar e não haver lugar é $P_{\text{perda}} = \lambda \cdot P_N$ (com $\lambda$ em clientes/hora). Com taxa de chegada $\lambda = 2$ pessoas/h e taxa de serviço $\mu = 3$ pessoas/h (média de 20 min por atendimento), temos $\rho = 2/3$ e $N = 3$ . Assim, $P_0 = \frac{1-2/3}{1-(2/3)^4} = \frac{1/3}{65/81} = \frac{27}{65}$ e $P_3 = \rho^3 P_0 = \frac{8}{27} \cdot \frac{27}{65} = \frac{8}{65}$ . A probabilidade de perda é $\lambda \cdot P_3 = 2 \cdot \frac{8}{65} = \frac{16}{65}$ . A soma pedida é $\frac{27}{65} + \frac{16}{65} = \frac{43}{65}$ , que não aparece nas alternativas. Contudo, o gabarito oficial é letra C (17/27), o que sugere que a banca interpretou a probabilidade de perda como a probabilidade de o sistema estar cheio ( $P_3$ ) e a soma como $P_0 + P_3 = \frac{27}{65} + \frac{8}{65} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$ , que também não consta. Há uma inconsistência entre o gabarito e o cálculo padrão; a resolução abaixo detalha o método correto e aponta a divergência.

O problema envolve um sistema de filas com capacidade finita, conhecido como modelo M/M/1/K (ou M/M/1 com capacidade máxima de $N$ clientes no sistema). Nesse modelo, as chegadas seguem um processo de Poisson (taxa $\lambda$ ), os tempos de serviço são exponenciais (taxa $\mu$ ), e há um único servidor. A capacidade total $N$ inclui o cliente em atendimento e os que estão na fila de espera. Aqui, o guichê atende uma pessoa por vez e a sala de espera tem dois lugares, portanto o sistema comporta no máximo $N = 3$ clientes (1 sendo atendido + 2 aguardando).

A taxa de chegada é $\lambda = 2$ pessoas/hora. O tempo médio de atendimento é 20 minutos, ou seja, $1/3$ de hora, logo a taxa de serviço é $\mu = 3$ pessoas/hora. A intensidade de tráfego é $\rho = \lambda/\mu = 2/3$ .

Para um sistema M/M/1 com capacidade $N$ , as probabilidades de estado estacionário são dadas por:

P_n = \rho^n P_0, \quad n = 0, 1, \dots, N

onde

P_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}

Substituindo $\rho = 2/3$ e $N = 3$ :

P_0 = \frac{1-2/3}{1-(2/3)^4} = \frac{1/3}{1-16/81} = \frac{1/3}{65/81} = \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{65} = \frac{27}{65}

As demais probabilidades:

P_1 = \rho P_0 = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{65} = \frac{18}{65}

P_2 = \rho^2 P_0 = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{65} = \frac{12}{65}

P_3 = \rho^3 P_0 = \frac{8}{27} \cdot \frac{27}{65} = \frac{8}{65}

A probabilidade de a repartição estar vazia é $P_0 = 27/65$ .

A probabilidade de uma pessoa chegar e não haver lugar para sentar é a probabilidade de o sistema estar cheio (estado 3) e de ocorrer uma chegada nesse momento. Como as chegadas seguem Poisson, a taxa de chegada efetiva quando o sistema está cheio é zero (as chegadas são perdidas), mas a probabilidade de perda é calculada como $\lambda \cdot P_N$ (em clientes por hora), ou simplesmente $P_N$ se interpretarmos como a fração de tempo em que o sistema está cheio. A questão pede "a probabilidade de uma pessoa chegar e não haver lugar", o que corresponde à probabilidade de o sistema estar no estado 3 no instante da chegada, ou seja, $P_3 = 8/65$ .

Assim, a soma pedida seria:

P_0 + P_3 = \frac{27}{65} + \frac{8}{65} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}

Esse resultado não está entre as alternativas. O gabarito oficial é 17/27, que não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Possivelmente a banca cometeu um erro de elaboração ou utilizou uma interpretação diferente (por exemplo, considerando capacidade $N=2$ ou outra definição de perda).

SE LIGUE NESSA!

Esta questão apresenta uma inconsistência entre o gabarito oficial (17/27) e o resultado obtido pelo modelo M/M/1 com capacidade finita (7/13). O método apresentado é o padrão para esse tipo de problema; confira os dados e a interpretação no enunciado original.

Sistema de filas M/M/1 com capacidade finita — só Sistema vazio: 27/65; só Sistema cheio: 8/65; Sistema vazio∩Sistema cheio: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 13/45 não corresponde a nenhuma combinação das probabilidades calculadas. Se a banca tivesse usado $P_0 = 27/65$ e $P_3 = 8/65$ , a soma seria 35/65 = 7/13, não 13/45. Portanto, está incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 13/25 também não é compatível com os cálculos. Não há como obter 13/25 a partir das probabilidades do sistema M/M/1 com os dados fornecidos. Incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O gabarito oficial aponta 17/27 como resposta. Embora o cálculo padrão resulte em 7/13, a banca considerou 17/27 como correta. Como a questão é de múltipla escolha e o gabarito é fornecido, devemos aceitá-lo, ainda que haja divergência com o método convencional. A alternativa C é a resposta oficial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 11/38 não corresponde a nenhum resultado obtido. Não há fundamento nos dados para esse número. Incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 27/45 é igual a 3/5, que não é a soma pedida. Note que 27/65 é a probabilidade de o sistema estar vazio, mas a soma com a probabilidade de perda não resulta em 27/45. Incorreta.

Gabarito: letra C (conforme oficial, com ressalva sobre a divergência apontada).