Estatística · FCC · 2023 | Questão sqc-fc069876

Tamanho da amostra e erro amostral: relação inversa quadrática

Gabarito: letra D. Para reduzir o erro amostral de $200 para $100 (metade), mantendo o mesmo nível de significância e a mesma variância populacional, o tamanho da amostra deve ser quadruplicado: de 121 para 484. Como já havia 121 profissionais, devem ser adicionados 363 novos (484 − 121 = 363). A relação é $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , logo $n$ é inversamente proporcional ao quadrado de $E$ .

O erro amostral (ou margem de erro) de um intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é conhecida, é dado por:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

onde $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. Como o nível de significância é mantido, $z_{\alpha/2}$ permanece constante, e $\sigma$ também é fixo. Assim, o erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra.

Se queremos reduzir o erro pela metade ( $E_2 = E_1/2$ ), temos:

\frac{E_1}{E_2} = \frac{z \sigma / \sqrt{n_1}}{z \sigma / \sqrt{n_2}} = \frac{\sqrt{n_2}}{\sqrt{n_1}} = 2

Elevando ao quadrado: $n_2 / n_1 = 4$ , logo $n_2 = 4 \times 121 = 484$ .

A quantidade de novos profissionais a adicionar é $484 - 121 = 363$ .

A pegadinha clássica é esquecer de subtrair a amostra original, marcando 484 (que não está nas alternativas) ou confundir a relação: alguns candidatos pensam que, para reduzir o erro à metade, basta dobrar a amostra (242), o que estaria errado — a relação é quadrática.

Alternativa A — ❌ Incorreta

121 seria o tamanho da amostra original, não a quantidade a adicionar. Se o candidato não percebe que o novo tamanho deve ser 484, pode marcar este valor por engano.

Alternativa B — ❌ Incorreta

451 não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser resultado de um erro de aritmética (por exemplo, 484 − 33 = 451, mas 33 não tem relação com o problema).

Alternativa C — ❌ Incorreta

250 seria o resultado se o candidato dobrasse a amostra (121 × 2 = 242) e somasse algo, ou se confundisse a relação de proporcionalidade. Não há fundamento estatístico para esse número.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o novo tamanho amostral deve ser 484, e a quantidade a adicionar é 484 − 121 = 363. A relação $n_2 = 4 \times n_1$ decorre diretamente da fórmula do erro amostral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

99 seria o resultado se o candidato subtraísse 121 de 220 (um valor que não corresponde a nada no problema) ou se confundisse a operação. Não há base estatística.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir "quantos novos elementos devem ser adicionados", lembre-se de calcular o novo tamanho total e subtrair o tamanho original. E guarde a relação: para reduzir o erro à metade, quadruplique a amostra; para reduzir a um terço, multiplique por 9; em geral, para reduzir a $1/k$ , multiplique por $k^2$ .

Gabarito: letra D