Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2023

Análise de resíduos na regressão linear simples

Gabarito: letra B. Na regressão linear simples, os resíduos estudentizados (ou studentizados) seguem, sob as suposições do modelo, uma distribuição t de Student com (n − 3) graus de liberdade, em que n é o número de observações. Essa é a propriedade que a alternativa B descreve corretamente.

A análise de resíduos é uma etapa fundamental para verificar se as suposições do modelo de regressão linear são satisfeitas. O modelo é dado por $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + e_i$, em que $e_i$ é o erro aleatório. Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e os valores ajustados: $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$. A partir deles, definem-se os resíduos padronizados e os resíduos estudentizados, cada um com propriedades específicas.

Os resíduos padronizados são obtidos dividindo cada resíduo pelo desvio padrão estimado dos resíduos. Eles têm, aproximadamente, média zero e variância 1 (não σ²). Já os resíduos estudentizados são uma versão mais refinada, em que cada resíduo é dividido pelo seu desvio padrão estimado, levando em conta a influência da observação. Sob as suposições do modelo, cada resíduo estudentizado segue uma distribuição t de Student com (n − 3) graus de liberdade, pois há dois parâmetros estimados (β₀ e β₁) e a estimativa da variância consome mais um grau de liberdade.

A alternativa B está correta porque afirma exatamente essa propriedade. As demais alternativas apresentam erros conceituais: a A troca a variância dos resíduos padronizados (que é 1) por σ²; a C inverte o conceito de homoscedasticidade; a D inverte a interpretação da distância de Cook; e a E descreve uma transformação que não é a recíproca.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os resíduos padronizados são definidos como $r_i = \frac{e_i}{s \sqrt{1 - h_{ii}}}$, em que $s$ é o desvio padrão estimado dos resíduos e $h_{ii}$ é o elemento da diagonal da matriz chapéu. Eles têm, aproximadamente, média zero e variância 1 (não σ²). A variância σ² é a variância do erro aleatório $e_i$, não dos resíduos padronizados. Portanto, a alternativa erra ao afirmar que a variância é σ².

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Os resíduos estudentizados são obtidos dividindo cada resíduo pelo seu desvio padrão estimado, que incorpora a influência da observação. Sob as suposições do modelo de regressão linear simples, cada resíduo estudentizado segue uma distribuição t de Student com (n − 3) graus de liberdade. Isso ocorre porque, além dos dois parâmetros estimados (β₀ e β₁), a estimativa da variância residual consome mais um grau de liberdade. A alternativa B descreve exatamente essa propriedade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Uma suposição básica do modelo de regressão linear simples é a homoscedasticidade, ou seja, a variância dos erros é constante e não depende de X. A alternativa afirma o contrário, dizendo que a suposição é a heterocedasticidade, o que é um erro conceitual. A heterocedasticidade é uma violação da suposição, não uma suposição do modelo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distância de Cook mede a influência de cada observação nas estimativas dos coeficientes. Um baixo valor da distância de Cook indica que a observação tem pouca influência sobre o modelo, não que afeta bastante. A alternativa inverte a interpretação: um alto valor indicaria grande influência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A transformação recíproca $1/Y$ é usada para estabilizar a variância (não a média) quando a variância dos erros é proporcional ao quadrado da média. Ela também pode ajudar a reduzir o efeito de valores extremos, mas a descrição da alternativa está incorreta ao dizer que estabiliza a média. A transformação adequada para estabilizar a média seria outra, como a transformação logarítmica em alguns casos.

Gabarito: letra B