Matemática · FCC · 2023 | Questão sqc-fc069880

Probabilidade com transformação de variável aleatória contínua

Gabarito: letra D. A probabilidade pedida é $P(1 < U < 3) = P(1 < 2X < 3) = P(0,5 < X < 1,5)$ , que se calcula integrando a função densidade $f(x) = \frac{x+2}{6}$ no intervalo $0,5 < x < 1,5$ ; o resultado é $\frac{1}{2}$ . A chave é converter o intervalo de $U$ para o intervalo correspondente de $X$ antes de integrar.

A questão trabalha com transformação de variável aleatória contínua. Quando temos $U = 2X$ , a probabilidade de $U$ estar em um intervalo é igual à probabilidade de $X$ estar no intervalo transformado, pois a transformação é monótona crescente (multiplicar por 2 preserva a ordem). Assim, em vez de achar a função densidade de $U$ (o que seria possível pelo método do Jacobiano), podemos simplesmente converter os limites:

1 < U < 3 \iff 1 < 2X < 3 \iff 0,5 < X < 1,5

Como $f(x)$ é zero fora de $0 < x < 2$ , o intervalo $0,5 < x < 1,5$ está inteiramente dentro do suporte, então a probabilidade é a integral:

P(0,5 < X < 1,5) = \int_{0,5}^{1,5} \frac{x+2}{6}\,dx

Calculando:

\int_{0,5}^{1,5} \frac{x+2}{6}\,dx = \frac{1}{6}\left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{0,5}^{1,5} = \frac{1}{6}\left[\left(\frac{2,25}{2} + 3\right) - \left(\frac{0,25}{2} + 1\right)\right]

= \frac{1}{6}\left[(1,125 + 3) - (0,125 + 1)\right] = \frac{1}{6}(4,125 - 1,125) = \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{1}{2}

Portanto, $P(1 < U < 3) = \frac{1}{2}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato integrar diretamente em $U$ sem converter o intervalo, ou esquecer de ajustar os limites ao fazer a substituição $x = u/2$ . Lembre-se: a probabilidade é invariante sob transformação monótona — basta transformar os limites do intervalo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{7}{12}$ não é o valor da integral. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo, como integrar $\frac{x+2}{6}$ de $0,5$ a $2$ (que daria $\frac{7}{12}$ ), mas o limite superior correto é $1,5$ , não $2$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{2}{3}$ também não corresponde ao cálculo correto. Esse valor seria obtido se o aluno integrasse de $0$ a $2$ (a área total sob a fdp, que é 1) e depois dividisse por algo errado, ou se confundisse os limites.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{5}{6}$ é um distrator. Esse número poderia vir de integrar $\frac{x+2}{6}$ de $0$ a $1,5$ (que dá $\frac{5}{8}$ ) ou de outro erro de aritmética. O valor correto é $\frac{1}{2}$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(1 < U < 3) = P(0,5 < X < 1,5) = \frac{1}{2}$ . A conversão do intervalo é o passo decisivo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{5}{8}$ é o valor de $P(0 < X < 1,5)$ , ou seja, integrando de $0$ a $1,5$ . Mas o intervalo correto começa em $0,5$ , não em $0$ . O aluno que esquece de subtrair a parte de $0$ a $0,5$ cai nessa alternativa.

Gabarito: letra D