Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FCC 2023

Coeficiente de variação em população normal

Gabarito: letra C (20%). O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média ($CV = \sigma/\mu$). A partir das duas informações do enunciado — 17% dos tubos abaixo de 12,15 m e 86% com medidas que diferem da média em no máximo 4,44 m —, obtém-se um sistema que permite calcular $\mu$ e $\sigma$, resultando em $CV = 0{,}20 = 20\%$.

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, que expressa o desvio padrão como porcentagem da média. Ele é adimensional e permite comparar a variabilidade de conjuntos com médias diferentes. A fórmula é:

Para resolver a questão, precisamos encontrar $\mu$ e $\sigma$ a partir das probabilidades fornecidas. A população é normal, então podemos padronizar usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Primeira informação: 17% dos tubos têm medidas inferiores a 12,15 m. Isso significa que $P(X < 12{,}15) = 0{,}17$. Na curva normal padrão, o valor de $z$ que deixa 17% à esquerda é $z = -0{,}95$ (pois $P(Z < -0{,}95) = 0{,}17$). Portanto:

Segunda informação: 86% dos tubos têm medidas que diferem da média em no máximo 4,44 m. Isso significa que $P(|X - \mu| \leq 4{,}44) = 0{,}86$. Ou seja, a probabilidade de $X$ estar entre $\mu - 4{,}44$ e $\mu + 4{,}44$ é 0,86. Na curva normal padrão, isso corresponde a $P(|Z| \leq z_0) = 0{,}86$, onde $z_0 = \frac{4{,}44}{\sigma}$. Como a área central é 0,86, as caudas somam 0,14, ou seja, 0,07 em cada lado. O valor de $z$ que deixa 0,07 à direita é $z = 1{,}48$ (pois $P(Z > 1{,}48) = 0{,}07$). Portanto:

Substituindo $\sigma = 3$ na equação (1):

Agora, calculamos o coeficiente de variação:

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 40% seria obtido se $\sigma = 6$ e $\mu = 15$, mas isso não corresponde aos dados. Não há combinação de $\mu$ e $\sigma$ que satisfaça as duas condições do enunciado e resulte em CV = 40%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 15% seria obtido se $\sigma = 2{,}25$ e $\mu = 15$, mas isso não satisfaz a primeira condição (17% abaixo de 12,15 m). Com $\sigma = 2{,}25$, teríamos $z = \frac{12{,}15 - 15}{2{,}25} = -1{,}27$, o que daria aproximadamente 10% abaixo, não 17%.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\mu = 15$ e $\sigma = 3$, resultando em $CV = 3/15 = 0{,}20 = 20\%$. Este é o único valor que satisfaz simultaneamente as duas condições probabilísticas do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 25% seria obtido se $\sigma = 3{,}75$ e $\mu = 15$, mas isso não satisfaz a segunda condição (86% dentro de 4,44 m da média). Com $\sigma = 3{,}75$, teríamos $z = 4{,}44/3{,}75 = 1{,}184$, o que daria aproximadamente 76% dentro do intervalo, não 86%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 10% seria obtido se $\sigma = 1{,}5$ e $\mu = 15$, mas isso não satisfaz a primeira condição. Com $\sigma = 1{,}5$, teríamos $z = \frac{12{,}15 - 15}{1{,}5} = -1{,}9$, o que daria aproximadamente 3% abaixo, não 17%.

Gabarito: letra C