Matemática · FCC · 2023 | Questão sqc-fc069889

Variáveis Aleatórias Contínuas: Média e Moda

Gabarito: letra B (3/8). Para uma variável aleatória contínua, a média é calculada pela integral $E(X) = \int x f(x) dx$ e a moda é o ponto de máximo da função densidade de probabilidade. Aqui, $f(x) = 1,5(-x^2 + 2x)$ é uma parábola com concavidade para baixo, cujo máximo ocorre em $x = 1$ (dentro do intervalo $0 < x < 1$ ), e a média resulta em $E(X) = 5/8$ ; a diferença em módulo é $|5/8 - 1| = 3/8$ .

A questão exige dois cálculos distintos: a média (esperança) e a moda de uma distribuição contínua. Vamos por partes.

1. Média (Esperança Matemática)

Para uma variável contínua com densidade $f(x)$ , a média é:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

Como $f(x) = 0$ fora de $0 < x < 1$ , integramos apenas nesse intervalo:

E(X) = \int_0^1 x \cdot 1,5(-x^2 + 2x) dx = 1,5 \int_0^1 (-x^3 + 2x^2) dx

Calculando a integral:

1,5 \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = 1,5 \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) = 1,5 \left( \frac{-3 + 8}{12} \right) = 1,5 \cdot \frac{5}{12} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{12} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}

Portanto, $E(X) = 5/8$ .

2. Moda

A moda de uma distribuição contínua é o valor de $x$ que maximiza a função densidade de probabilidade. Como $f(x) = 1,5(-x^2 + 2x)$ é uma função quadrática com coeficiente de $x^2$ negativo ( $-1,5$ ), seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, e o máximo ocorre no vértice. O vértice de $g(x) = -x^2 + 2x$ é dado por:

x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1

Como $x = 1$ está no intervalo $0 < x < 1$ (embora seja o extremo superior, a função atinge o máximo nesse ponto), a moda é $Mo = 1$ .

3. Diferença em módulo

|E(X) - Mo| = \left| \frac{5}{8} - 1 \right| = \left| -\frac{3}{8} \right| = \frac{3}{8}

Portanto, a resposta é a letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1/2$ não corresponde à diferença calculada. Ele poderia ser obtido se o aluno calculasse a média como $1/2$ (talvez por simetria intuitiva) e a moda como $1$ , resultando em $|1/2 - 1| = 1/2$ , mas a média correta é $5/8$ , não $1/2$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E(X) = 5/8$ e $Mo = 1$ , logo $|5/8 - 1| = 3/8$ . A alternativa reproduz exatamente o resultado do cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $1/4$ seria obtido se o aluno calculasse a média como $3/4$ (erro comum ao integrar $x f(x)$ sem multiplicar corretamente) e a moda como $1$ , resultando em $|3/4 - 1| = 1/4$ . Mas a média correta é $5/8$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $3/4$ não corresponde à diferença. Poderia surgir de um erro na integral da média (por exemplo, $E(X) = 1/4$ e moda $1$ , ou $E(X) = 7/4$ e moda $1$ , mas nenhum desses valores é correto).

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $3/2$ é muito maior que a diferença real. Provavelmente o aluno confundiu a constante $1,5$ com o resultado, ou calculou a média como $1/2$ e a moda como $2$ (fora do intervalo), resultando em $|1/2 - 2| = 3/2$ . Nenhum desses caminhos é válido.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre média e moda em distribuições contínuas. Muitos candidatos tentam "adivinhar" a moda pelo formato da curva ou usam a média aritmética simples dos extremos do intervalo (0 e 1), obtendo $1/2$ . Lembre-se: a moda é o ponto de máximo da fdp, não o ponto médio do intervalo. Aqui, como a fdp é uma parábola com vértice em $x=1$ , a moda é 1 — e a média, calculada por integral, é $5/8$ . Com treino, você identifica essas armadilhas de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para variáveis contínuas, decore as definições: Média = $\int x f(x) dx$ ; Moda = maximizante de $f(x)$ (derive e iguale a zero, ou use o vértice se for quadrática); Mediana = valor que divide a área em 50%. Em questões de fdp quadrática, o vértice é a moda — não precisa derivar, basta aplicar $x_v = -b/(2a)$ .

Gabarito: letra B