Questão de Matemática — Probabilidade — FCC 2023

Distribuição Binomial – Probabilidade de mais de 1 sucesso

Gabarito: letra D (35,2%). Como as extrações são feitas com reposição, os eventos são independentes e o número de eleitores favoráveis ao candidato X entre os 3 selecionados segue uma distribuição binomial com $n=3$ e $p=0,4$. A probabilidade pedida é $P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=0,288+0,064=0,352$, ou seja, 35,2%.

A distribuição binomial é o modelo probabilístico para experimentos que consistem em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes, cada um com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e probabilidade de sucesso constante $p$. Aqui, cada eleitor escolhido é um ensaio: "sucesso" é preferir o candidato X (probabilidade $p=0,4$) e "fracasso" é não preferir (probabilidade $q=1-p=0,6$). Como a escolha é com reposição, a probabilidade de sucesso permanece a mesma em cada extração, garantindo a independência.

A função de probabilidade binomial é dada por:

em que $\binom{n}{k}$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$, ou seja, o número de maneiras de escolher quais dos $n$ ensaios serão sucessos.

O enunciado pede a probabilidade de que mais que 1 eleitor tenha preferência por X, ou seja, $P(X>1)$. Isso inclui os casos de exatamente 2 sucessos e exatamente 3 sucessos. Vamos calcular cada um:

• $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^1 = 3 \cdot 0,16 \cdot 0,6 = 0,288$

• $P(X=3) = \binom{3}{3} \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^0 = 1 \cdot 0,064 \cdot 1 = 0,064$

Somando: $P(X>1) = 0,288 + 0,064 = 0,352 = 35,2\%$.

A pegadinha clássica da banca é o candidato calcular apenas $P(X=2)$ (28,8%) ou apenas $P(X=3)$ (6,4%), esquecendo de somar os dois casos. Outra armadilha é usar o complemento de forma errada: $P(X>1) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$, que também chega ao mesmo resultado, mas exige calcular duas probabilidades.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 28,8% corresponde apenas à probabilidade de exatamente 2 eleitores preferirem X, ou seja, $P(X=2) = 0,288$. A questão pede mais que 1, o que inclui também o caso de 3 eleitores. Quem marca esta alternativa esquece de somar $P(X=3)$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 56,8% não corresponde a nenhuma probabilidade direta do modelo binomial com $n=3$ e $p=0,4$. Ele pode surgir de um cálculo equivocado, como usar $p=0,6$ (probabilidade de fracasso) ou somar probabilidades de forma incorreta. Não há fundamento teórico para esse número.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 21,6% não é resultado de nenhuma combinação válida dos parâmetros. Pode ser uma tentativa de calcular $P(X=2)$ com erro na combinação (por exemplo, usar $\binom{3}{2}=2$ em vez de 3) ou um produto incorreto. O cálculo correto de $P(X=2)$ é 28,8%, não 21,6%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(X>1) = P(X=2) + P(X=3) = 0,288 + 0,064 = 0,352 = 35,2\%$. A alternativa espelha exatamente a soma das probabilidades de 2 e 3 sucessos, que é o que o enunciado pede.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 34,8% é muito próximo do correto (35,2%), o que sugere um erro de arredondamento ou de cálculo na soma. Por exemplo, se o candidato calcular $P(X=2) = 0,288$ e $P(X=3) = 0,06$ (arredondando 0,064 para 0,06), obtém 0,348. A banca coloca esse distrator para pegar quem não faz as contas com precisão.

Gabarito: letra D